Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Предположим еще, что боковое отклонение и отклонение по дальности независимы1. Тогда для попадания в цель данным снарядом необходимо и достаточно, чтобы его отклонения по дальности и боковое не превосходили соответствующих вероятных отклонений. В соответствии с рис. 2 каждое из этих событий будет наблюдаться примерно для 50% выпущенных снарядов, т. е. с вероятностью Совмещение обоих этих событий будет происходить примерно для 25°/0 выпущенных снарядов, т. е. вероятность попадания отдельного снаряда в цель будет равна
1 1 1 P=T-T=rT'
1 Эти предположения независимости подтверждаются опытом. § 2. Аксиомы и основные формулы
ДО
а вероятность промаха при отдельном выстреле будет равна
Л А 1 3
? = 1-/> = 1 — T = T- -
Предполагая, что попадания при отдельных выстрелах представляют собой независимые события и применяя биномиальную формулу (6), мы находим, что вероятность получить при 40 выстрелах ровно к попаданий будет равна
P1 - art-»=»• " (I)' (I)"".
Интересующая нас вероятность получить не менее пяти попаданий вы-
40
разится теперь формулой P = ]?] Pk. Но ее проще вычислить по фор-
4
муле P = 1 — Q, исходя из вероятности Q = 2 Pk получить JfeHee пяти
й=0
попаданий.
Можно подсчитать, что
^0=(4)40 -0.00001, ^ = 40(1)^-0,00013, />2 = ^Ш4)2~0,00087,
/>з = ^??^8 (4)37 (і)3 ~ 0,0037,
откуда
<7 = 0,016, /> = 0,984.
Полученная вероятность P даже несколько ближе к единице, чем это обычно признается достаточным в теории стрельбы при назначении числа снарядов, способного обеспечить выполнение поставленной задачи. Чаще всего считают возможным указывать число снарядов, которое гарантирует выполнение поставленной задачи с вероятностью 0,95.
17» 260
Рассмотренный пример несколько схематичен, но он достаточно убедительно показывает важность вероятностных расчетов. Установив из опыта зависимость вероятных отклонений от дистанции стрельбы, для чего достаточно совсем небольшого числа стрельб на полигоне, мы можем потом при помощи несложных расчетов получать ответы на самые разнообразные вопросы. Так же дело обстоит и во всех других областях, где совместное действие большого числа случайных факторов приводит к статистическим закономерностям. Ilpn непосредственной обработке массовых наблюдений выясняются лишь самые простые из этих статистических закономерностей, т. е. находятся лишь некоторые исходные вероятности. Затем, при помощи законов теории вероятностей, отправляясь от этих исходных вероятностей, вычисляют вероятности более сложных явлений и на основе этих вычислений делают выводы о статистических закономерностях, управляющих интересующими нас сложными явлениями.
Иногда удается и совсем обойтись без собирания массового статистического материала, так как исходные вероятности могут быть определены из достаточно убедительных соображений симметрии. Например, традиционный вывод о том, что игральная кость, т. е. куб, вырезанный из однородного материала, при бросании с достаточной высоты падает на каждую из своих граней с одинаковой вероятностью */в, был сделан несомненно раньте, чем вполне систематически был собран достаточный для оправдания этого вывода наблюдательный материал. Систематические опыты такого рода производились в XVIII—XX вв. преимущественно составителями учебников по теории вероятностей, когда теория вероятностей уже была разработанной наукой. Результат этой проверки был удовлетворителен, но распространение подобной деятельности на новые аналогичные случаи вряд ли представляет интерес. Например, насколько нам известно, никто не производил достаточно обширных опытов с бросанием вырезанного из однородного материала правильного двенадцатигранника. Но нет никаких сомнений, что если бы было произведено, скажем, 12000 таких бросаний, то двенадцатигранник упал бы на каждую из своих граней приблизительно в тысяче случаев.
Получение исходных вероятностей из соображений симметрии или однородности играет также большую роль во многих серьезных научных задачах, например во всех задачах на столкновения или сближения беспорядочно двигающихся молекул газа или—-с таким же успехом— звезд галактики. Конечно, в таких более деликатных случаях предпочитают хотя бы косвенно проверять сделанные допущения путем «равнения вытекающих из них выводов с опытом.
§ 3. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
Вполне естественна потребность количественно уточнить утверждение о том, что в «больших» сериях испытаний частоты появления со» jj 'і. Закон больших чисел и предельные теоремы
26)
бытия «близки» к его вероятности. Следует ясно представить себе известную деликатность этой задачи. В наиболее типичных для теории вероятностей случаях дело обстоит так, что в сколь угодно длинных сериях испытаний остаются теоретически возможными оба крайних значения частоты
]1 = п- = 1 И * = °=0.
п п п п
Поэтому, каково бы ни было число испытаний п, нельзя утверждать с полной достоверностью, что будет выполнено, скажем, неравенство
Например, если событие А заключается в выпадении при бросании игральной кости шестерки, то при п бросаниях с вероятностью
