Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
К такого рода определениям относится определение вероятности как предела частот при неограниченном увеличении числа испытаний. Допущение о вероятностном характере испытаний, т. е. о тенденции частот группироваться вокруг постоянного значения, само по себе бывает верно (как и допущение о «случайности» какого-либо явления) лишь при сохранении некоторых условий, которые не могут сохраняться неограниченно долго и с неограниченной точностью. Поэтому точный переход к пределу
Ij-
SZ. ->р п
не может иметь реального значения. Формулировка принципа устойчивости частот при обращении к такому предельному переходу требует определения
1 Тем не менее по существу решаемых задач теория вероятностей остается самостоятельной математической дисциплиной; основные для теории вероятностей результаты (подобные изложенным в § 3) кажутся искусственными и ненужными с точки зрения чистой теории меры. 5. Детерминированные и случайные процессы
275
допустимых способов отыскания бесконечных последовательностей испытаний, которое тоже может быть лишь математической фикцией. Все это нагромождение понятий могло бы еще подлежать серьезному рассмотрению, если бы в результате получилось построение теории столь своеобразной, что иными путями до ее строгого обоснования нельзя было бы дойти. Но, как указано выше, обоснование математической теории вероятностей при современном состоянии теории меры производится просто добавлением условия
Р(?7) = 1.
Вообще, при реальном анализе понятия вероятности вовсе не обязательно стремиться к его формальному определению. Повидимому, с чисто формальной стороны о вероятности нельзя сказать ничего больше следующего: вероятность P (AjS) есть число, вокруг которого, при условиях S и при предусмотренных этими условиями способах формирования серий, имеют тенденцию группироваться частоты, причем при возрастании численности этих серий в разумных пределах, не нарушающих однородности условий, эта тенденция проявляется со все большей отчетливостью и точностью, достигая достаточных в данной конкретной обстановке надежности и точности при достижимых численностях серий.
Действительно, важной задачей является не формальное уточнение этого определения, а возможно более широкое выяснение условий, при которых такого типа вероятностная случайность должна проявляться. "Надо ясно понимать то, что в действительности гипотеза о вероятностном характере какого-либо явления лишь очень редко обосновывается непосредственной статистической проверкой. Только при первом проникновении вероятностных методов в какую-либо новую область дело часто начиналось с того, что чисто эмпирически отмечалось постоянство частот. В силу сказанного в § 3, для того чтобы статистически обнаружить постоянство частот с точностью до є, необходимо пользоваться сериями примерно
по га =-L испытаний. Например, для того чтобы установить, что в 'данном кон-
Є2
кретном вопросе имеет смысл считать вероятность определенной с точностью до 0,0001, необходимо произвести ряд серий испытаний примерно по 100 000 000 испытаний в каждой.
Гораздо чаще гипотеза вероятностной случайности вводится на основании соображений симметрии или на основании соображений о практической независимости отдельных, приходящих в соприкосновение рядов явлений и т. д. Затем эта гипотеза проверяется косвенным путем. Например, благодаря тому, что число молекул в конечных объемах газа выражается числами порядка IO20 и более, число \In, соответствующее вероятным выводам кинетической теории газов, бывает очень велико и, действительно, многие из этих выводов оправдываются с большой точностью. Например, давление на противоположные стороны подвешенной в спокойном воздухе пластинки даже микроскопических для нашего глаза размеров оказывается строго одинаковым, хотя уже превышение давления на одну из сторон над давлением на другую в тысячные доли процента при надлежащей постановке опыта могло бы быть замечено.
§ 5. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Принцип причинной обусловленности всех явлений находит наиболее простое математическое выражение в методе изучения реальных процессов при помощи дифференциальных уравнений; этод метод продемонстрирован на ряде примеров в § 1 главы V.
18* '276
Глава XI. Теория вероятностей
Пусть состояние изучаемой системы в момент времени t определяется при помощи п параметров
» ' " * ' * ^n*
Скорости изменения этих параметров, как известно, выражаются их производными по времени
_dxk dt-
Если допустить, что эти скорости являются функциями от значений параметров, то мы получим систему дифференциальных уравнений
X^ -Д (-^l J ^?' * * * »
X^-/2(^1» ' * " ,
-/к (-^i, -?' " " " > Хп)-
Большая часть законов природы, открытых в эпоху зарождения математического естествознания, начиная с галилеевского закона падения тел, выражается именно таким образом. Галилей не мог облечь свое открытие в указанную стандартную форму из-за того, что в его время соответствующие математические понятия еще не были разработаны. Это было сделано Ньютоном.
