Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
^=^0 + ^9 + ^=1?-0'05-
Таким образом, в предположении, что на самом деле новый препарат точно равноценен старому, мы рискуем сделать ошибочный вывод о том, что новый препарат превосходит старый, с вероятностью порядка 0,05. Чтобы свести зту вероятность приблизительно к 0,01, не увеличивая числа испытаний л= 10, пришлось бы установить, что преимущество нового препарата будет считаться доказанным лишь "тогда, когда его применение даст положительный результат не менее чем в девяти случаях из десяти. Если это требование покажется сторонникам нового препарата слишком суровым, то придется назначить число испытаний п значительно большим, чем 10. Если, например, при п = 100 установить, что преимущества нового препарата будут считаться доказанными при [л ]> 65, то вероятность ошибки будет лишь P ж 0,0015.
Если норма в 0,05 для серьезных научных исследований явно недостаточна, то вероятностью ошибки в 0,001 или в 0,003 по большей части принято пренебрегать даже в столь академических и обстоятельных исследованиях, как обработка астрономических наблюдений. Впрочем, иногда научные выводы, основанные на применении вероятностных закономерностей, обладают и значительно большей достоверностью (т. е. построены на пренебрежении значительно меньшими вероятностями). Об этом еще будет сказано далее. '264
Глава XI. Теория вероятностей
В рассмотренных примерах мы уже неоднократно применяли частные случаи биномиальной формулы (6)
Pm = Cym (1-Р)"-т
для вероятности Pm получить ровно т положительных исходов при п независимых испытаниях, в каждом из которых положительный исход имеет вероятность р. Рассмотрим при помощи этой формулы вопрос, поставленный в начале этого параграфа, о вероятности
р==р{|т-Н<е}' (11)
где [л — фактическое число положительных исходов1. Очевидно, эта вероятность может быть записана в виде суммы тех Pm, для которых т удовлетворяет неравенству
О, (12)
т. е. в виде
P= I1 Pm, (13)
In=Tni
где Jnl — наименьшее из значений т., удовлетворяющих неравенству (12), а т2 — наибольшее из таких т.
Формула (13) при сколько-нибудь больших п мало пригодна для непосредственных вычислений. Поэтому имело очень большое значение
1
открытие Муавром для случая р = — и Лапласом при любом р асимптотической формулы, которая позволяет очень просто находить и изучать поведение вероятностей Pm при больших п. Формула эта имеет вид
(т—tip)2
P _ 1 Г5^M1 (14)
\1гъпр (1 — р)
Если р не слишком близко к нулю или единице, то она достаточно точна уже цри п порядка 100. Если положить
т — пр
\/пр(1-р) '
то формула (14) приобретет вид
(15)
Pm ~ 1 е 2. (16)
\І2ітр(\—р)
1 (х принимает с вероятностями Pm, значения т — 0, 1, ...,», т. е.
P(l* = m) = P„. jj 'і. Закон больших чисел и предельные теоремы
26)
Из (13) и (16) можно вывести приближенное представление вероятности (11)
T
Je Ut=F(T), (17)
—Т
где
Т = г/J^zyy (18>
Разность между левой и правой частями в (17) при постоянном и отличном от нуля и единицы р стремится при п —*¦ со равномерно относительно ? к нулю. Для функции F(T) составлены подробные таблицы. Вот краткая выдержка из них
T I 1 I 2 і 3 J 4 F I 0,68269 I 0,95450 | 0,99730 | 0,99993
При T-*- со значение функции F(T) стремится к единице.
Произведем при помощи формулы (17) оценку вероятности
Р{\^~р\<0,02}
при л = 10 000. Так как T = , 2 .=¦ , то
V/'(1-я)
PtvFf1=J=) . \ VjP (1 — Я) /
Так как функция F (T) монотонно возрастает с возрастанием Tt то для не зависящей от р оценки P снизу надо взять наименьшее возможное (при различных р) значение Т. Такое наименьшее значение получится
при P=-^l и оно будет рцвно 4. Поэтому приближенно
P ^F (4) = 0,99993. (19)
В неравенстве (19) не учтена ошибка, происходящая из-за приближенного характера формулы (17). Производя оценку связанной с этим обстоятельством погрешности, можно во всяком случае установить, что P > 0,9999.
В связи с рассмотренным примером применения формулы (17) следует отметить, что оценки остаточного члена формулы (17), дававшиеся в теоретических сочинениях по теории вероятностей, долго оставались мало удовлетворительными. Поэтому применения формулы (17) и ей подобных к расчетам при не очень больших п или при вероят-г ностях р,, очень близких к 0 или к 1 (а такие вероятности во многих случаях и имеют особенно большое значение) часто основывались лишь на опыте проверок такого рода результатов для ограниченного числа примеров, а не на достоверно установленных оценках возможной '266
Глава XI. Теория вероятностей
ошибки. Более подробное исследование, кроме того, показало, что во многих практически важных случаях приведенные выше асимптотические формулы нуждаются не только в оценке остаточного члена, но и в уточнении (так как без такого уточнения остаточный член слишком велик). В обоих направлениях наиболее полные результаты принадлежат С. Н. Бернштейну. •
Соотношения (11), (17) и (18) можно переписать в виде
Г{|?-(20)'
Для достаточно больших t правая часть формулы (20), не содержащая п, сколь угодно близка к единице, т. е. к значению вероятности, которое соответствует полной достоверности. Мы видим, таким обра-
