Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Учебники
Арнольд И. В. Теоретическая арифметика. Изд. 2-е, Учпедгиз, 1939. Виноградов И. М. Основы теории чисел. Изд. 6-е, Гостехиздат, 1952. Чебышев П. Л. Теория сравнений. Полное собрание сочинений, т. 1. Изд-во АН СССР, 1944.
Специальные монографии
Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. Труды Математического института им. В. А. Стеклова, вып. XXIII, 1947. Ингам М. Распределение простых чисел. ГОНТИ, 1936.
Xya -Л о-Ке н. Аддитивная теория простых чисел. Труды Математического института им. В. А. Стеклова, вып. XXII, 1947. Глава XI ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 1. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ
Простейшие закономерности, устанавливаемые естествознанием, заключаются в указании условий, при которых какое-либо интересующее нас событие заведомо происходит или заведомо не происходит, т. е. эти условия могут быть выражены по одной из следующих двух схем:
1) если осуществляется комплекс (т. е. совокупность) условий S, то с достоверностью происходит событие А;
2) если осуществляется комплекс условий S, то событие А произойти не может.
В первом случае событие А по отношению к комплексу условий S называется «достоверным» или «необходимым» событием, а во втором — «невозможным» событием. Например, при атмосферном давлении и температуре Z, лежащей в пределах 0°<Z<^100° (комплекс условий S), вода с достоверностью находится в жидком состоянии (достоверное событие A1), а в газообразном или в твердом состоянии находиться не может (невозможные события A2 и Л3).
Событие А, которое при осуществлении комплекса условий S иногда происходит, а иногда не происходит, называется по отношению к этому комплексу условий случайным. Возникает вопрос: означает ли случайность события А отсутствие всякой закономерной связи между комплексом условий S и событием А? Пусть, например, установлено, что лампы определенного типа, производимые определенным заводом (условия S), иногда горят более 2000 час. (событие А), а иногда до истечения этого срока перегорают и приходят в негодность. Могут ли тем не менее опыты с проверкой способности ламп гореть 2000 час. служить для характеристики качества продукции завода? Или следует ограничиться указанием того срока (скажем, 500 час.), в течение которого практически все лампы безотказно работают, и того срока, после которого практически все лампы перегорают (скажем, срока в 10 000 час.?) Ясно, что характеристика срока работы ламп только неравенствами 500 ^ T ^ 10 000 мало удовлетворит потребителя. Потребитель получит значительно более полную информацию, если ему будет сказано, что приблизительно в 80°/о случаев лампы служат не менее § 1. Вероятностные закономерности
253
2000 час. Еще более полная характеристика качества ламп будет содержаться в указании для любого T процента v (T) ламп, которые служат не менее T часов, хотя бы в виде графика, изображенного на рис. 1.
Кривая V (T) практически находится при помощи испытаний с пробной партией из достаточно большого числа (100—200) ламп. Естественно, что найденная таким образом кривая имеет действительную ценность лишь в том случае, если она правильно отражает реальную закономерность, действующую не только для данной пробной партии, но и вообще для ламп, производимых при заданном качестве материалов и при установленной на заводе технологии производства, т. е. если испытания, произведенные с другими пробными партиями, состоящими из ламп, изготовленных в тех же общих условиях, приводят к близким результатам (т. е. к кривым ч (T), мало отличающимся от кривой, полученной в результате испытаний первой пробной партии). Это значит, что статистическая закономерность, выражаемая кривыми V (T) в пробных партиях, является лишь отражением j вероятностной закономер-вости, связывающей срок службы лампы с качеством материалов, из которых она изготовлена, и с технологией ее изготовления.
Эта вероятностная закономерность задается при помощи функции P(T1)1 где P(T) есть вероятность того, что отдельная лампа (произведенная при заданных условиях) будет гореть не менее T часов.
Утверждение о существовании у события А определенной вероятности
P(A/S) = p
при условиях S заключается в том, что в различных достаточно длинных сериях испытаний (т. е. осуществлений комплекса условий S) получаемые частоты появления события А
(где пг — число испытаний r-ой серии, >лг — число тех испытаний этой серии, при которых произошло событие А) будут приблизительно одинаковы и близки к р.
Гипотеза о существовании такой константы р = P (AjS) (объективно обусловленной характером связи между комплексом условий S и событием А), к которой частоты v оказываются, «вообще говоря», тем ближе, '254
Глава XI. Теория вероятностей
чем больше число испытаний п, хорошо оправдывается для широкого класса явлений. Такого рода явления естественно называть вероятностно-случайными1.
Рассмотренный выше пример относится к области вероятностных закономерностей массового производства. Реальность такого рода закономерностей не подлежит никакому сомнению. На них основаны весьма важные практические приемы статистического выборочного контроля массовой продукции. Близкой по способу образования вероятностных закономерностей является область вероятностных законов рассеивания снарядов, имеющих основное значение для теории стрельбы. Так как исторически это один из первых примеров реального применения методов теории вероятностей к техническим задачам, то к некоторым простейшим задачам теории стрельбы мы еще вернемся далее.
