Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
x1 hl in р — п in п о (я),
P ^n
2"1^ = In « + ЄС, (27)
где С — постоянное, большее нуля, и О— зависящее от п число такое, что |6|<1.
Оценка количества простых чисел в определенном интервале. Покажем сейчас, что можно выбрать некоторую положительную постоянную M так, что между п и Mn будет лежать сколь угодно много простых р, если п достаточно велико. Именно, установим простые неравенства для числа T простых чисел интервала п<^ р^.Мп. Очевидно,
2 In^P _ InjP_• (28)
Из равенства (27), заменяя п на Mn, получим
2 h^ = In [Mn) + Є' С = In M + In п + 6'С, (29)
P^-Mu ^
где 16'I ^l; следовательно, ввиду равенств (28), (29) и (27), 2 ^ = In M+ 6'С — 6C = lnM + 2606\
n^Jx'Mn
где |Є0І<1, Т. е.
W1 In P
P
\пМ — 2С< 2 ^<1пМ + 2С. (30)
240 Глава X. Простые числа
In X
Но, с другой стороны, так как функция у =- при е будет убы-
вающей ^так как г/' = 1 Jlnх 0 при 1пж> 1, т. е. то при п
T
In Mn ^ ^TI In P ^ гр In » Mn ^ 2л ^ гГ •>
п<Р^Мп
откуда, ввиду (30), следует, что
Г > InM-2С (31)
и что
Т±У?>-<\пМ + 2С. (32)
Возьмем теперь постоянную M так, чтобы правая часть (31) была равна единице,
In M — 2С= 1,
т. е.
TIZ = C2e+1,
и положим
L = M (In M + 2С).
Тогда для числа T простых, лежащих между п и Mn, мы получим из (31) и (32) неравенства
которые мы и имели в виду установить. Так как оо при неогра-
ниченном возрастании п, то при этом и Т—>оо.
§ 4. О МЕТОДЕ ВИНОГРАДОВА
Метод Виноградова в приложении к решению проблемы Гольдбаха. Мы попытаемся дать в этом параграфе некоторое представление о методе Виноградова на частном примере решения им проблемы Гольдбаха о представимости нечетного числа в виде суммы трех простых чисел.
Выражение числа представлений N суммой трех простых в виде интеграла. Пусть N — достаточно большое нечетное число. Обозначим через I(N) число представлений _N в виде суммы трех простых чисел, иначе говоря, число решений уравнения
N = P1 +Pt +P3 (34)
в простых числах pv р.г, ps. § 4. О методе Виноградова
241
Проблема Гольдбаха будет решена, если будет установлено, что I(N)y> 0. Метод Виноградова позволяет не только установить этот факт (для достаточно больших N), но и найти приближенное выражение для I(N).
I(N) можно записать в следующем виде:
і
/(iV) = 2 2 2 j е^.+А+л-^а!*, (35)
P1^lf ft^V о
где суммирование ведется по простым числам, не превышающим N.
Действительно, при целом п=^= 0 1
fd* = -ШГ Ге2"нч; = ^li - е°)=
о
так как
e2lzin = cos 2кп -j- і sin 2жп = 1;
если же /1 = 0, то
1 1
I e2Kina dv. = J da = 1.
о о
Таким образом, всякий раз, когда простые pv р2, р3 в сумме дают N, интеграл под знаком суммы в (35) обращается в единицу, а когда сумма Pi-{- P2jT P3=^N1 этот интеграл равен нулю, что и показывает справедливость равенства (35).
Так как е2*'" • е2тс<6 = е2*«"+') и интеграл от суммы нескольких слагаемых равен сумме интегралов от этих слагаемых, то из равенства (35) ¦следует, что
1
1 (N) = I (2 е2. J V2^a.
О г /
Введем обозначение
га=2е2таар; (36)
тогда
і
I(N) = J Tier-2^da.. (37)
о
Разбиение промежутка интегрирования на основные и дополнительные отрезки. Пусть h — некоторая, выбранная надлежащим образом в зависимости от N величина, неограниченно возрастающая вместе с N,
но малая по отношению к TV и даже к и пусть т Ввиду
' Л fl
16 Математика, т. 2 242
Глава X. Простые числа
того, что подинтегральная функция в (37) имеет период, равный единице, отрезок интегрирования в (37) можно заменить отрезком от — і
до 1-—- . Поэтому т
T
1-І
I(N)= j' Tse-^M'dx. (38)
Рассмотрим теперь все правильные несократимые дроби -у с знаме»
1 1
нателями, не превосходящими h, и выделим из отрезка--- ^a —-
соответствующие этим дробям «основные» отрезки
-—-<*<- + -; (39)
q T ^s q 1 т ' v '
при достаточно большом N эти отрезки, как это можно доказать1,
1 1
не будут иметь общих точек. Таким образом, отрезок — — ^oc^l—-
будет разбит на отрезки основные и «дополнительные». Представим I(N) в виде суммы двух слагаемых
I (N) = I1(N) +I2(N), (40)
где I1 (N) обозначает сумму интегралов по основным отрезкам, а I2 (N) — CjMMy интегралов по дополнительным отрезкам. Как будет видно из дальнейшего, при неограниченном возрастании нечетного N неограниченно возрастает также I1 (N), причем
Iim Ш = 0. (41)
If-i-oo1I \1у)
і Если бы два таких отрезка около точек — и — пересекались, то в общей
'Jl <72
точке было бы справедливо равенство
+ — = — + — , где Ie1IsSl1 I 0g j ^l,
Ч\ T <72 т
или иначе:
aI<72 ~ а2<7] _ в] -? <?1<72 т
Но по абсолютной величине левая часть последнего равенства не меньше, чей
Il 2 2 h
¦-. т. е. больше то , а правая не больше, чем — , т. е. меньше . Если бы по-
h Т N
1 2 h
следнее равенство имело место, из него следовало бы неравенство -^2 < ^y , что противоречит выбору h. § 4. О методе Виноградова
243
Таким образом, ввиду (40), число представлений нечетного N в виде суммы трех простых чисел неограниченно возрастает вместе с N, что, в частности, • доказывает предположение Гольдбаха для всех достаточно больших нечетных N.
