Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Выражение интеграла по основным отрезкам. Пусть а принадлежит
одному из основных отрезков; согласно (39), a = причем 1
и . Разобьем сумму (36)
распространенную на все простые числа, не превосходящие N, на частичные суммы Ta., и вида
Ч 2™ (-+Ир T.,Jf= ^eb / ,
где M' выбрано с таким расчетом, чтобы е2™*1' «мало» отличалось от e2r.izx (имея в виду дать лишь понятие о методе Виноградова, а не доказательство теоремы Гольдбаха—Виноградова, мы не уточняем здесь и в дальнейшем смысла выражения «мало отличается»; на самом деле в доказательстве И. М. Виноградова речь идет о строго определенных неравенствах, связанных с большими вычислениями). Таким образом,
а
2x1 — р
Ta,„же2"»* 2j е " =е2*ш*Т
а - (42)
где знак as указывает на то, что левая часть последнего соотношения «мало» отличается от средней его части. Разобьем далее каждую из сумм
а
2тг» — р
„ '«"I 2 Tti -
V= 2 е "
_ (43)
1 М<р<М'
на суммы Ta , распространенные на простые числа ph удовлетворяю-
- .MrI
ч
щие соотношению M ^ pi <[ Mt и принадлежащие арифметическим прогрессиям qx I, где / принимает все значения от 0 до q — 1, взаимно простые с q. Но
2кі—р. 'Zvix-1- "2т:г L 'Jri I
Є '> ' I= е ч —е ч ,
и, следовательно,
г.іЧі (44)
Ta =е " -ЩМ, M', I),
lo* 244
Глава X. Простые числа
где П (M, M', I), ¦— число простых чисел, удовлетворяющих условиям M ^ р <[ M' и принадлежащих арифметической прогрессии qxA-l. В развитие формулы (14) для числа П(ж) простых чисел, не превосходящих х, установлено, что H (Л/, M', I) для значений д, «малых»,
W
по сравнению с разностью M' — М, мало отличается от J , где
м
<р (q) — функция Эйлера. Это — арифметическая функция (т. е. функция, определенная для натуральных q), представляющая число целых положительных чисел, не превосходящих q и взаимно простых с q. Ввиду (44), таким образом, можно получить, что
„ ¦« , м'
' \ г Jr
T ^e " ~ . (45)
JL м'і ' ?(<? • In * к '
ч ' M
В выражении, стоящем в правой части (45), лишь первый множитель зависит от I, т. е. от выбора арифметической прогрессии qx-\-l \q мы рассматриваем сейчас как фиксированное). После суммирования по I получается, что
„ а ,
T ^JL ї X1 е 1 ° M f (?) J Inx J^j '
ч ' M I
и далее, ввиду (42):
Jf' » . « .
1 г dx —
^etaur'-ШІТЙ-2е 7. <«>
M I
причем
M' M'
dx с е2***х
Г ii^f eI -- Clx J lna; J In® '
„2 жШ*
Jf M
что позволяет заменить (46) соотношением
T dx. JLWtti^
J Inx ^x <р (q) ^J6
M I
После суммирования по M устанавливается, что
Л' а
. 2 Kizx і . 2iti — і
Г.я* [ -dx . -+г- > е 1 • (48)
1 J In X <?(q) ^mi v '
2 I
Входящая в правую часть соотношения (48) сумма
2 Ki--I
2е • '
і
где суммирование распространяется на натуральные I, не превосходя- § 4. О методе Виноградова
245
щие q и взаимно простые с ним, выражается через арифметическую функцию \>.(q), определенную следующим образом: [л(д) = 0, если q делится на квадрат целого числа, большего единицы; [л (I) = I и ^(д) = = (—1)", если q = P1P2 . . . р„, где pv р2, . . рп — различные простые. Именно, при взаимно простых а и q
2 e**Tl = |t(?). (49)
і
Поэтому уравнение (48) можно записать в виде
s „ . fimtx
¦ dx.
Г
<f(g) J Ina; 2
Ввиду того, что (л3 (q) = (л. (q),
(M)
В соответствии с определением I1 (N) имеем
T + T
A(Л')= 2 2 J ТІе-^Ча, (51)
1 а а 1
"q ~ і
где при данном g суммирование ведется по всем неотрицательным а, меньшим q. Так как a =-^--)-2, то, вследствие (50),
Am« 2 '' / (5?
l<q<h а 1 \ 2 /
т
Введем обозначение
і / Д' „ .
Л(ЛГ)= J (I TnITcbJ (53)
_ L 2
Из соотношения (52) следует, что
<54)
а
Необходимо обратить внимание на то обстоятельство, что R(N) представляет собой некоторое аналитическое выражение, которое удается 246
Глава X. Простые числа
приближенно подсчитать; именно, оказывается, что
r^YWW- W
Выражение, стоящее в правой части соотношения (54) множителем при R (N), «мало» отличается от суммы бесконечного ряда
?=1 а
так что, благодаря (54) и (55), удается установить, что
(57)
или, точнее говоря,
7I W = -2WW{S {N) + Tl {N))t (58)
где
lim Yl (N) = 0. (59)
N oo
Заметим, что арифметическое выражение S(N) может быть представлено в виде
S(N) = Cj+ (60)
р
где С — некоторая постоянная, и произведение распространено на все простые делители числа N, причем, как показывают вычисления,
S (N) >0,6. (61)
Оценка интеграла по дополнительным отрезкам. Перейдем теперь к оценке суммы J2 интегралов по дополнительным отрезкам. Так как модуль интеграла не превосходит интеграла от модуля подинтеграль-ной функции и |e-2mttA' I = 1 при действительном aN, то
i—L
T
I/2|<max|rj. J \TJ4x, (62)
где тах|Га| представляет наибольшее значение | ГJ при а, принадлежащих дополнительным отрезкам (мы усилили неравенство, взяв множителем при max | Ta | интеграл, распространенный на весь отрезок
— — <а<1——).
