Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Большое значение в математике имеет сложившееся прежде всего на арифметическом материале понятие алгорифма — процесса решения задачи, основанного на повторном выполнении строго определенного предписания; в частности, в машинной математике роль алгорифма является фундаментальной. Особенности алгорифмического решения задачи |можно четко проследить на примере алгорифма Эвклида для нахождения общего наибольшего делителя двух натуральных чисел а и Ь.
Пусть а^>Ь. Делим а на Ъ и находим неполное частное и, если b не является делителем а, остаток г2
a = bq1-\- r2, О <r2<6. (?
15 Математика, т. 2 226
Глава X. Простые числа
Далее, если г2 0, делим Ь на г2
^ = ? + ^ OO3Os- (?
Затем делим г2 на г3 и поступаем так до тех пор, пока не дойдем да остатка, равного нулю, что обязательно должно произойти ввиду убывания целых неотрицательных чисел г2, гя, ... Пусть
rn—2== rn—iQn—і ru> (5,-:)
'¦»-i = r*q«> (5,)
тогда гп как раз и будет общим наибольшим делителем а и Ъ. Действительно, если два целых числа Iwm имеют общий делитель d, то при целых h vi к число hl-\~km также будет делиться на d. Предположим, что общий наибольший делитель ашЬ равен 8. Из равенства (5:) видно, что 8 будет делителем г2\ из (52) следует, что S будет делителем л,,...; из (5я_г) — что S является делителем гп. Но само гп является общим делителем а и Ъ, так как из (5„) видно, что гп есть делитель /•„_из (5„_j) — что г„ есть делитель г„_2, и т. д. Поэтому 8 совпадает с г„ и задача нахождения общего наибольшего делителя а и Ъ решена. Мы имеем здесь определенный, однотипный для любых а и Ъ процесс, заведомо ведущий нас к искомому результату, — это характерный пример алгорифма.
Теория чисел оказала влияние на развитие многих математических дисциплин: математического анализа, геометрии, классической и современной алгебры, теории суммируемости рядов, теории} вероятностей и др.
Методы теории чисел. По своим методам теория чисел делится на четыре части: элементарную, аналитическую, алгебраическую и геометрическую.
Элементарная теория чисел изучает свойства целых чисел, не прибегая к помощи других математических дисциплин. Так, например,| исходя из тождества Эйлера
К + xI+ xI +(У\+УІЛ-УІЛ- УЪ = {хгУх+4h+хіУ, + ^yi)2 +
+ (Ж1 Уі — х'іУ\ + хзУі — хіУз)2 + (хі Ул — хзУі + Wh — хіУі? +
+ (хІУІ — aWi jT х2 У л — xJJiY' (6)
можно довольно быстро показать, что всякое целое IS О разлагается на сумму четырех квадратов целых чисел, т. е. представляется в виде
TV = Z2+ у2+ Z2+ к2,
где X, у, Z, и—-целые1.
1 Мы имеем здесь пример изучения неопределенного уравнения с. точки зре-1 нин разрешимости его в целых числах. § 1. Что и как изучает теория чисел
227
Аналитическая теория чисел использует для решения задач теории чисел средства математического анализа. Основы аналитической теории чисел были заложены Эйлером и развиты П. JI. Чебышевым, Дирихле, Риманом, Рамануджаном, Харди, Литтльвудом и другими учеными. Наиболее мощные методы аналитической теории чисел созданы академиком И. М. Виноградовым, о чем будет сказано ниже. Эта область теории чисел тесно связана с такой богатой практическими приложениями дисциплиной, как теория функций комплексного переменного, а также с теорией рядов, теорией вероятностей и другими разделами математики.
Основным понятием алгебраической теории чисел является понятие алгебраического числа, т. е. корня уравнения
UwCh UlXn'1 -(- U2Xn- ...-)- -f- а„ = О,
где а0, av а2, ..., а„ — обычные целые числа1.
Крупнейший вклад в этот раздел теории чисел внесен Лагранжем, Гауссом, Куммером, Е. И.; Золотаревым, Дедекиндом, А. О. Гельфон-дом и другими.
Основным объектом изучения геометрической теории чисел являются «пространственные решетки»—системы всех «целых» точек, т. е. точек, все координаты которых в заданной прямолинейной системе координат (прямоугольной или косоугольной) выражаются целыми числами. Пространственные решетки имеют большое значение для геометрии и для кристаллографии, и вместе с тем их исследование тесно связано с важными вопросами теории чисел (в частности с арифметической теорией квадратичных форм, т. е. теорией квадратичных форм с целочисленными коэффициентами и целочисленными переменными). Основоположные работы в области геометрической теории чисел принадлежат Г. Минковскому и Г. Ф. Вороному.
Необходимо отметить, что методы аналитической теории чисел имеют важные применения как в алгебраической, так и в геометрической теории чисел. Особенно здесь следует отметить проблему подсчета числа целых точек н заданной области, важную для некоторых разделов физики. Подходы к решению этой проблемы были намечены Г. Ф. Вороным, а методы ее решения развиты И. М. Виноградовым.
Глубокая причина силы аналитических методов теории чисел лежит в том, что здесь связи между дискретными целыми числами обогащаются привлечением новых связей через непрерывное.
Необходимо подчеркнуть, что в настоящей главе рассматриваются лишь некоторые избранные вопросы теории чисел.
1 Если а0=1, то алгебраическое число называется целым. Число, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным.
