Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Среди аналитических функций естественно выделяется класс функций, аналитических при всех конечных значениях аргумента. Такие функции представимы степенным рядом, сходящимся при всех значениях аргумента z, и называются целыми функциями z. Если мы рассмотрим разложение около начала координат, то целая функция будет выражаться рядом вида
G(Z) = C0-I-C1Z + ^+... +CbZ"+ ...
Если в этом ряде все коэффициенты, начиная с некоторого, обращаются в нуль, то функция есть просто многочлен или целая рациональная функция
P (z) = cO-+ cIzjT---+ c»zn.
14 Математика, т. 2 ¦210
Глава IX. Функции комплексного переменного
Если в разложении бесконечно много членов, отличных от нуля, то целая функция называется трансцендентной. Приведем примеры таких функций:
^ + іт+Й+--"
Z Z3 . Z5
SlnZ=TT—3!+5f—
COSZ = I- JrH-Iy — - -.
При изучении свойств многочленов важную роль играет вопрос о расположении корней уравнения
P(Z) = O1
или, более обще, мы можем ставить вопрос о расположении точек, в которых многочлен принимает заданное значение А
P(Z) = A.
Основная теорема высшей алгебры утверждает, что всякий многочлен принимает заданное значение А по крайней мере в одной точке. Это свойство уже не может быть перенесено на произвольную целую функцию. Например, функция w = e* ни в одной точке Z плоскости не обращается в нуль. Однако имеет место следующая теорема Пикара: всякая целая функция принимает бесконечное число раз произвольное значение, кроме может быть одного.
Вопрос о расположении на плоскости точек, в которых целая функция принимает заданное значение А, является одним из центральных вопросов теории целых функций.
Число корней многочлена равно его степени. Степень многочлена тесно связана с быстротой возрастания IP(Z)I при |zl-»oo. В самом деле, мы можем написать
и так как при z-^-co второй множитель стремится к [ап\, многочлен степени п при больших значениях z возрастает, как |a„j|z|". Таким образом, видно, что, чем больше п, тем быстрее растет | P11 (z) | при |z|-»co и тем больше корней имеет многочлен. Оказывается, что для целых функций эта закономерность продолжает иметь место. Однако для целой функции /(z), вообще говоря, число корней бесконечно, и поэтому вопрос о числе корней не имеет смысла. Все же мы можем рассмотреть число п(г, а) корней уравнения
f(z) = a
2 § 4. Криволинейный интеграл
211
в круге радиуса г и изучить, как меняется это число при возрастании г. Скорость возрастания п (г, а) оказывается связанной со скоростью возрастания максимума модуля целой функции M (г) в круге радиуса г. Как уже говорилось, для целой функции может существовать одно исключительное значение а, для которого уравнение может не иметь даже ни одного корня. Для всех других значений а скорость возрастания числа п (г, а) сравнима со скоростью возрастания величины In M (г). Мы здесь не имеем возможности дать более точные формулировки этих закономерностей.
Свойства распределения корней целых функций связаны с задачами теории чисел и позволили установить ряд важных свойств функции Римана "C(s)\ на основе которых доказываются многие теоремы о простых числах.
Дробные или мероморфные функции. Класс целых функций может быть рассматриваем как расширение класса алгебраических многочленов. Исходя из многочленов, можно получить более широкий класс рациональных функций
являющихся отношением двух многочленов.
Подобным же образом естественно образуется новый класс функций из целых функций. Функция / (z), являющаяся отношением двух целых функций Gj (z) и G2 (z)
1 ( ' ~ G2 (*) '
называется дробной или мероморфной функцией. Получаемый таким образом класс функций играет большую роль в математическом анализе. Среди элементарных функций комплексного переменного в класс меро-морфных функций входят, например:
sin z ж cos Z
tgz= - , Ctff z = - .
° cos z & sin z
Мероморфная функция уже не будет аналитической на всей плоскости комплексного переменного. В тех точках, где знаменатель G2(z) обращается в нуль, функция /(z) обращается в бесконечность. Корни G2(z) образуют на плоскости множество изолированных точек. В окрестности этих точек функция /(z), естественно, не может быть разложена в ряд Тейлора, однако в окрестности такой точки а мероморфная функция может быть представлена степенным рядом, содержащим также некоторое число отрицательных степеней (z—a):
^^^ +Cl(z-a)+ ...+Cn(z-a)* +...(46)
1 См. главу X, посвященную теории чисел. ¦212
Глава IX. Функции комплексного переменного
При приближении z к точке а значения f(z) стремятся к бесконечности. Изолированная особая точка, в которой аналитическая функция обращается в бесконечность, называется полюсом. Потеря аналитичности функции в точке а обусловлена членами с отрицательными степенями z— а в разложении (46). Выражение
С—т і і C—j
(z — а)»> "Г • • • "Г (Z __
характеризует поведение меррморфной функции вблизи особой точки и называется главной частью разложения (46). Характер поведения мероморфной функции определяется ее главными частями в окрестности полюсов. Во многих случаях, зная главные части разложения мероморфной функции в окрестности всех ее полюсов, можно ее построить. Так, например, если функция /(z) рациональна и обращается в 0 на бесконечности, то она равна сумме главных частей ее разложения около всех ее полюсов, число которых для рациональной функции конечно:
