Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 2" -> 84

Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 2 — Москва, 1956. — 397 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjaniemetodiiznachenie1956.djvu
Предыдущая << 1 .. 78 79 80 81 82 83 < 84 > 85 86 87 88 89 90 .. 157 >> Следующая


Доказательство этой теоремы весьма несложно. Пусть Д (z) и /2 (z) — две аналитические в области D функции, совпадающие по линии С. Разность

?(*)=/, (2)-Л (2)

будет аналитической функцией в области D и обращается в нуль на линии С. Докажем, что c(z) = 0 в любой точке области D. В самом деле, если в области D существует точка Z0 (рис. 21), в которой <р (Z0)=^=O, то мы продолжим линию С до точки Z0 и будем идти по полученной линии Г к точке Z0 до тех пор, пока функция остается равной нулю на Г. Пусть ^ — последняя получаемая таким образом точка Г. Если Ip(Z0)=^O1 TO C=^=zO' и на некотором отрезке линии Г за точкой функция <p(z), по определению точки 1, была бы не равна нулю. Покажем, что это невозможно. В самом деле, на части линии Г, лежащей до точки ?, мы имеем <p(z) = 0. Можно вычислить все производные функции <р (z) на T1 § 5. Свойство единственности и аналитическое продолжение'

215

пользуясь только значениями <p(z) на Гс, поэтому на Гс все производные <p(z) равны нулю. В частности, в точке X,

= Q = • • • —

Разложим функцию <р (Q в ряд Тейлора в точке Все коэффициенты разложения обратятся в нуль, поэтому мы получим

<p(z) = о

в некотором круге с центром в точке "?, расположенном в области D. В частности, отсюда следует, что равенство <p(z) = 0 продолжает выполняться на некотором отрезке линии Г, лежащей за Предположение <р (z0) =^= 0 привело нас к противоречию.

Доказанная теорема показывает, что если известны значения аналитической функции на некотором отрезке кривой или в некоторой части области, то это определяет единственным образом значения функции всюду в области задания. Таким образом, значения функции в различных частях плоскости аргумента тесно связаны между собой.

Чтобы дать себе отчет в значении свойства единственности аналитической функции, следует вспомнить, что общее определение функции комплексного переменного допускает любой закон соответствия между значениями аргумента и значениями функции. При таком определении, естественно, не может быть и речи о том, что значения функции в одном месте однозначно определяют ее значения в других частях плоскости. Мы видим, что единственное требование дифференцируемости функции комплексного переменного оказывается столь сильным, что определяет связь между значениями функции в различных местах.

Подчеркнем еще, что в области функций действительного переменного дифференцируемость функции не влечет за собой подобных следствий. В самом деле, можно построить примеры функций, дифференцируемых сколько угодно раз, совпадающих в некотором промежутке оси Ox и не равных между собой в остальных точках. Так, например, функция, равная нулю при отрицательных значениях х, может быть определена так, что при положительных х она отлична от нуля и имеет непрерывные производные любого порядка. Достаточно для этого, например, положить при х^>0

f(x) = e~x.

Аналитическое продолжение и полные аналитические функции. Часто при задании функции комплексного переменного область ее определения ограничивается самим способом задания функции. Рассмотрим совсем элементарный пример. Пусть функция задана рядом

/(z) = l + z + z2+...+z"+... (49) ¦216

Глава IX. Функции комплексного переменного

У
tV*\ улУ" \ X
( 0 rCa

Этот ряд, как известно, сходится в единичном круге с центром в начале координат и расходится вне этого круга. Поэтому аналитическая функция, заданная формулой (49), определена лишь в этом круге. С другой стороны, мы знаем, что сумма ряда (49) в круге |z|<l выражается формулой

/(*)=i4l- (50)

Формула (50) уже имеет смысл при всех значениях z=^=i. На основании теоремы единственности выражение (50) дает единственную аналитическую функцию, совпадающую с суммой ряда (49) в круге |z|<l. Таким образом, функцию, заданную сначала только в единичном круге,

мы продолжили на всю плоскость.

Если мы имеем функцию / (z), определенную внутри некоторой области D, и существует другая функция F (z), определенная в области Д, содержащей D, и совпадающая с /(z) в D, то в силу теоремы единственности значения F (z) в Д определяются единственным образом.

Функция F (z) носит название аналитиче-

Рис 22

ского продолжения f(z). Аналитическую функцию будем называть полной, если она не может быть продолжена с сохранением аналитичности за пределы той области, где она уже задана. Например, целая функция, определенная во всей плоскости, будет полной функцией. Мероморфная функция будет также полной функцией; она определена всюду, кроме своих полюсов. Однако существуют также аналитические функции, полная область определения которых есть ограниченная область. Мы не будем останавливаться на этих более сложных примерах.

Понятие полной аналитической функции приводит к необходимости рассмотрения неоднозначных функций комплексного переменного. Покажем это на примере функции

Ln Z = In г-)- Uр,

где r = |z| и <р = arg z. Если в некоторой точке z0 = r0 (cos ^0 і sin <p0) плоскости z рассмотреть некоторое исходное значение функции

(Ln z)0 = In гп 4- i«p0,
Предыдущая << 1 .. 78 79 80 81 82 83 < 84 > 85 86 87 88 89 90 .. 157 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed