Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 2" -> 87

Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 2 — Москва, 1956. — 397 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjaniemetodiiznachenie1956.djvu
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 157 >> Следующая


§ 1. ЧТО И КАК ИЗУЧАЕТ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Целые числа. Как уже читатель знает из вводной главы I (том*1), человечеству с древнейших времен приходилось иметь дело с целыми числами, но понадобился длинный ряд веков для того, чтобы дойти до понятия бесконечного натурального ряда чисел

1, 2, 3, 4, 5,... (1)

И теперь в самых разнообразных вопросах практической деятельности людям приходится постоянно встречаться с целыми числами. Целые числа отражают множество количественных соотношений в природе; во всех вопросах, связанных с дискретным, целые числа являются необходимым математическим аппаратом.

Вместе с тем целые числа играют важную роль и при изучении непрерывного. Так, например, в математическом анализе рассматриваются разложения аналитических функций в степенные ряды по целым степеням X

f (S) = O0+ aIaj + ^2+ ... + аяа;и+ ...

Все вычисления по существу производятся с целыми числами, что сразу очевидно даже при внешнем рассмотрении счетных автоматов или арифмометров, а также математических таблиц, например таблиц логарифмов. После операций над целыми числами в определенных местах ставятся запятые, что соответствует образованию десятичных дробей; такие дроби, как и любые рациональные дроби, представляют отношение двух целых чисел. Между тем при действиях с любым действительным числом (например, -) мы фактически заменяем его ра-

/ 22 \ циональной дробью (например, считаем, что -rz = — , или что г = 3,14).

В то время как установлением правил действий над числами занимается арифметика, более глубокие свойства натурального ряда (1), дополненного числом нуль и целыми отрицательными числами, изучает теория чисел — наука о системе целых чисел, а в расширенном смысле и о системах чисел, определенным образом построенных при помощи 224

Глава X. Простые числа

целых чисел (см., в частности, § 5 этой главы). Разумеется, теория чисел рассматривает целые числа не изолированно одно от другого, а в их взаимосвязи, изучая свойства чисел, как они определяются отношениями между ними.

Одним из основных вопросов теории чисел является исследование делимости одного числа на другое: если результатом деления целого а на целое Ь (не равное нулю) является целое число, т. е. если

а = Ь • с

(а, 6, с — целые), то говорят, что а делится на Ь или что Ь делит а. Если же в результате деления целого а на целое Ъ получается дробь, то^говорят, что а не делится на Ъ. На практике с вопросами делимости чисел приходится сталкиваться постоянно. Свойства делимости чисел играют важную роль в некоторых вопросах математического анализа. Если, например, разложение функции по целым степеням х

f (х) = а0Ci1XO2X2 + ...-\-а„хп + ... (2)

таково, что все нечетные коэффициенты, т. е. коэффициенты с номерами, не делящимися на 2, равны нулю, т. е. если

/(я) = а0 + а2х24- ... 4-O2kX2k+ ...,

то функция удовлетворяет условию

f(-X) = f(x)-

такая функция называется четной функцией, и график ее симметричен относительно оси ординат. Если же в разложении (2) равны нулю все четные коэффициенты, т. е. коэффициенты с номерами, делящимися на 2, иначе говоря, если

/ (х) = агх 4- а3ж3 4-...4- a2k+1x2k+l

то

f(-x) = -f(x);

в этом случае функция называется нечетной, и график ее симметричен относительно начала координат. Так, например,

Sinx = Z—31+5]'—••• (функция нечетная);

Ж2 Xі

cos а: = 1 —"21 + 41" — • * • (функция четная).

Геометрический вопрос о возможности построения правильного «-угольника при помощи циркуля и линейки оказывается зависящим от арифметической природы числа я1.

1 См. главу IV (том 1), стр. 264. § 1. Что и как изучает теория чисел

225

Простым числом называется целое число (большее единицы), имеющее лишь два целых положительных делителя: единицу и самого себя. Единица не причисляется к простым числам, так как она не имеет двух разных положительных делителей.

Простыми числами являются, следовательно, числа

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,... (3)

О фундаментальной роли простых чисел в теории чисел говорит ее основная теорема: всякое целое п^> 1 может быть представлено в виде произведения простых чисел (возможно, с повторяющимися сомножителями), т. е. в виде

n = (4)

где P1 < р2 <!•••<! Pk — некоторые простые и а1( а2,. .., ак — целые числа, не меньшие единицы, причем представление п в форме (4) является единственным.

Свойства чисел, связанные с представлением чисел в виде суммы слагаемых, называются аддитивными; свойства же чисел, относящиеся к представлению их в виде сомножителей, называются мультипликативными. Связь между аддитивными и мультипликативными свойствами чисел является чрезвычайно сложной; она выдвинула ряд основных проблем теории чисел.

Наличие в теории чисел трудных задач в соединении с тем, что целое число является простейшим и ясным математическим понятием, самым тесным образом связанным с объективной реальностью, приводит к тому, что при изучении глубоких вопросов теории чисел появляются новые идеи и развиваются мощные методы, имеющие зачастую значение не только в теории чисел, но и в других; разделах математики. Так, например, громадное влияние на все развитие математики оказала идея бесконечности натурального ряда чисел, отражающая бесконечность материального мира в пространстве и во времени. Большое значение имеет факт упорядоченности членов натурального ряда. Изучение действий над целыми числами приводит к понятию алгебраической операции, играющему основную роль в ряде разделов математики.
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 157 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed