Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 2" -> 89

Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 2 — Москва, 1956. — 397 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjaniemetodiiznachenie1956.djvu
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 157 >> Следующая


"15 * 228

Глава X. Простые числа

§ 2. КАК ИССЛЕДОВАЛИ ВОПРОСЫ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К ПРОСТЫМ ЧИСЛАМ

Бесконечность числа простых чисел. При рассмотрении последовательности (3) простых чисел

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...

естественно возникает вопрос: является ли эта последовательность бесконечной? Тот факт, что любое целое число представимо в форме (4), еще не решает вопроса, так как показатели av ..., ак могут принимать бесчисленное множество значений. Положительный ответ на поставленный вопрос был дан еще Эвклидом, причем доказательство того, что не может быть лишь какого-либо конечного числа к простых чисел, таково.•

Пусть P1, р2, ..., Pk — простые, тогда число

^i = P1P2.. .рк-\г 1,

как всякое целое, большее единицы, или будет простым, или будет иметь простой делитель. Но т не может делиться ни на одно из простых чисел P1, р2, ...,рк, так как в противном случае разность т — P1P2 ... рк тоже делилась бы на это число, чего не может быть, поскольку эта разность равна единице. Следовательно, т само просто или делится на какое-то простое рк+1, отличное от pv ..., рк. Таким образом, множество простых чисел не может быть конечным.

Решето Эратосфена. Греческому математику III в. до н. э. Эрато-сфену приписывается следующий метод «решета» для нахождения всех простых чисел, не превышающих заданного натурального N. Выписываются все целые числа от 1 до TV

1, 2, 3, 4, ..., N,

а затем вычеркиваются сперва все числа, кратные двум, но не 2, затем все кратные трем, кроме 3, далее все кратные пяти (кратные четырем уже вычеркнуты), кроме 5, ит. д., а также 1; оставшиеся числа будут простыми. Следует заметить, что процесс вычеркивания надо продолжать до тех пор, пока мы не просмотрим все простые, меньшие, чем \/N, так как всякое составное (т. е. не простое) число, не превосходящее N, имеет обязательно простой делитель, не превосходящий \/N.

Рассмотрение последовательности простых чисел в ряде всех целых положительных чисел приводит к заключению о весьма сложной закономерности образования простых чисел: то встречаются такие простые, как 8004119 и 8004121, разность между которыми равна двум (так называемые «близнецы»), а то такие, далекие друг от друга, как 86629 и 86677, между которыми не лежит тем не менее ни одного простого числа. Вместе с тем таблицы показывают, что «в среднем» простые числа встречаются с ростом чисел все реже. § 2. Как исследовали вопросы, относящиеся к целым числам

229

Тождество Эйлера. Его доказательство бесконечности простых чисел. Великий математик XVIII в. JI. Эйлер, член Российской Академии наук, ввел в рассмотрение следующую функцию от аргумента «> 1, которую в настоящее время обозначают через

^) = 1+^ + 31?+.--+T^+.-- (7)

Как мы знаем из гл. II (том 1), данный ряд действительно сходится при s > 1 (и расходится при s ^ 1). Эйлер указал замечательное тождество, играющее очень важную роль в теории простых чисел:

<8>

«=1 P 1 р8

где знак JJ указывает, что берется произведение по всем простым р

числам р выражений-т-. Для того чтобы наметить ход доказатель-

ства этого тождества, заметим, что j—- = 1 —j— ^-f-^2 —)—. .. при |д|<[1,' 1 11

следовательно: -— =1_|—Перемножая при различных

1 — гт р

Ps

простых р эти ряды и вспоминая, чтр каждое п единственным образом разлагается на произведение простых, мы и находим, что

P

Для строгого доказательства необходимо, конечно, обосновать возможность произведенных нами предельных переходов, что не представляет, однако, существенных затруднений.

Из тождества (8) можно вывести как следствие, что ряд ,

р

составленный из обратных величин всех простых чисел, расходится (это дает новое доказательство известного уже нам факта, что простых чисел не может существовать лишь конечное число), а также, что отношение числа простых, не превышающих х, к самому х стремится к нулю при неограниченном возрастании х.

Исследования П. JI. Чебышева о распределении простых чисел в натуральном ряде. Обозначим, как это теперь принято, число простых чисел, не превышающих х, через II (ж): например, П(10) = 4, так как 2, 3, 5, 7 — все простые, не превышающие десяти; П(77)=:2, так как 2 и 3 все простые, не превышающие тт. Как мы упоминали,

і- П(я) Л Iim —— =0.

IT-XD Х 230

Глава X. Простые числа

Как же убывает отношение , или, иначе говоря, по какому закону возрастает П(я)? Нельзя ли указать такую, сравнительно простую, хорошо известную функцию, которая относительно мало отличалась бы от П(я)? Знаменитый французский математик Лежандр, исходя из рассмотрения таблиц простых чисел, утверждал, что такой функцией является

(9)

In х — А >

где .4 = 1,08... , но доказательства этого утверждения не дал. Гаусс, который также занимался вопросом о распределении простых чисел, высказал предположение, что П (ж) сравнительно мало отличается от

X

f ПП (заметим' что выполняется соотношение

2

dL

in t

2

X

In ж

Iim --=1, (10)

которое проверяется интегрированием по частям и последующей оценкой полученного интеграла).
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 157 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed