Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Первым, кто добился со времен Эвклида существенного продвижения в труднейшем вопросе о распределении простых чисел, был П. Л. Чебышев. В 1848 г., исходя из рассмотрения функции Эйлера С (s) при действительных s, Чебышев показал, что если п 0 сколь угодно велико и у. 0 сколь угодно мало, то будут существовать сколь угодно большие х, для которых
n(s)>f
dt Xx
In t In" X '
а также сколь угодно большие х, для которых
X
dt , ах
что хорошо согласуется с предположением Гаусса. В частности, взяв Ai=I и учитывая (10), Чебышев установил, что
lim -OM=I1 (И)
In :
Il (*)
если только предел —^j- существует.
In
X § 2. Как исследовали вопросы, относящиеся к целым числам
231
Г1. Jl. Чебышев опроверг также предположение Лежандра о величине А, входящей в выражение (9) и дающей наилучшее приближение к II (х), и показал, что этим значением может быть лишь A = 1.
Известный французский математик Бертран в своих исследованиях по теории групп встретился с необходимостью доказать следующее предложение, справедливость которого вплоть до весьма больших п он проверил эмпирически по таблицам: если 3, то между п и 2п — 2 есть по крайней мере одно простое число. Все попытки Бертрана, а также других математиков, доказать это предложение оставались безрезультатными до 1850 г., когда Чебышев опубликовал вторую работу, посвященную простым числам, в которой не только доказал указанное предложение («постулат Бертрана»), но и показал, что при достаточно больших X выполняются неравенства
АЛ<^<А» (12)
In X
где
0,92< < 1 и 1<Л2<1,1.
В § 3 мы дадим упрощенное изложение метода Чебышева, приводящее, правда, к значительно более грубым результатам, чем результаты самого Чебышева.
Работы Чебышева нашли многочисленные отклики у ряда математиков, в частности у Сильвестра и Пуанкаре. В течение более чем сорокалетнего периода ряд ученых занимался улучшением неравенств (12) Чебышева (увеличением постоянной в левой части равенства и уменьшением постоянной в правой части). Но при этом не удавалось показать существования предела
Hm
X
In X
(о котором, как мы уже упоминали, из работ Чебышева было известно, что если он существует, то он равен единице).
Лишь в 1896 г. Адамар, исходя из соображений теории функций комплексного переменного, доказал, что введенная в рассмотрение Че~ бышевым функция в (х), определенная равенством
Q(X) = ^ln р,
p<Zx
Iim^=Il (13)
Л-00
удовлетворяет условию
откуда уже довольно легко было получить и соотношение (И) без каких-либо дополнительных предположений (так называемый асимптотический закон распределения простых чисел). 232
Глава X. Простые числа
Результат (13) был получен Адамаром на основе исследований знаменитого немецкого математика XIX в. Римана, изучавшего функцию Эйлера (7) X,(s) при комплексных значениях переменной s = s-\-it [в то время как Чебышев рассматривал Xt (s) при действительных значениях аргумента]х.
Риман показал, что функция ?(«), определенная в полуплоскости а > 1 рядом (7)
»=i
такова, что
W-J=T
является целой трансцендентной функцией [цри S<1 ряд (7) перестает быть сходящимся, но значения Xs (s) в полуплоскости определяются
при помощи аналитического продолжения] (см. главу IX). Риман высказал предположение («гипотезу Римана») о том, что все корни X,(s)
в полосе 0 <^<7^1 имеют действительную часть, равную , т. е. ле-1
жат на прямой а = -^', вопрос о справедливости этого предположения
остается открытым и до сих пор.
Важным этапом доказательства (13) было установление факта, что на прямой <т = 1 не лежит корней ?(s).
Исследование поведения ? (s) привело к развитию стройной теории целых и мероморфных функций, имеющей важные практические приложения .
Работы Виноградова и его учеников по теории простых чисел.
Вслед за получением равенства (13), которое ввиду (10) может быть записано
Um-?W- = l, (14)
^00 Г dt J In t 2
Я
ВОЗНИК вопрос O TOM, С какой степенью ТОЧНОСТИ функция J J^y- нред-
1
ставляет П(ж). Наилучшие результаты в этом направлении были получены Н. Г. Чудаковым на основе применения созданного И. М. Виноградовым метода тригонометрических сумм (об этом методе будет сказано в § 4), которые позволили также И. Г. Чудакову значительно уменьшить те границы, где можно утверждать наличие хотя бы одного
1 В 1949 г. А. Сельбергу удалось найти элементарное доказательство асимптотического закона распределения простых чисел (не опирающееся на теорию функций комплексного переменного). § 2. Как исследовали вопросы, относящиеся к целым числам
233
простого числа. Именно, ранее было установлено, что если рассмотреть последовательность
I250 , 2250, З250, . . ., л250, (я + I)250, . . . , (15)
то, начиная с; некоторого п = п0, между двумя ее соседними членами, т. е. между л250 и (лг —|— 1 )250, лежит хотя бы одно простое число.
Отметим, что, как это следует из формулы бинома,
(rt+l)250 —rt250 >250rt248,
т. е. эта разность очень велика. Н. Г. Чудакову удалось заменить последовательность (15) последовательностью
