Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
I4, 24, З4_____п\ (n+if..........(16)
заметно более тесной, чем последовательность (15), однако также содержащей по крайней мере одно простое число между ее двумя последовательными членами, т. е. между] /г4 и (п-f-1)4, начиная с некоторого Ai = W0. Впоследствии этот результат удалось еще уточнить, заменив четвертые степени кубами.
Если к и I взаимно простые, т. е. не имеют общего делителя, большего единицы, то арифметическая прогрессия с общим членом kt —|— I содержит бесчисленное множество простых' чисел. Этот факт, обобщающий результат Эвклида, был установлен в XIX в. Дирихле. Какова же та граница, которую заведомо не превосходит наименьшее простое число в прогрессии kt-\-l? Ленинградский математик Ю. В. Лин-ник доказал существование абсолютной постоянной С, обладающей тем свойством, что в любой прогрессии kt-\-l (к и I — взаимно простые) обязательно найдется хоть одно простое, меньшее к°. Тем самым Ю. В. Линник дал с принципиальной точки зрения почти полное решение поставленной много лет назад] проблемы о наименьшем простом числе в арифметической прогрессии; дальнейшие исследователи могут лишь заняться уменьшением значения постоянной С. Ю. В. Линнику принадлежат также весьма важные исследования, относящиеся к вопросу о нулях функции t(s) и более общих функций.
Как уже упоминалось, наилучшие результаты в вопросе о распределении простых чисел были получены при помощи применения метода И. М. Виноградова оценки тригонометрических сумм.
Тригонометрической суммой называется сумма вида .
2 е2 *»Л®)( А<х<11
где f(x)— некоторая действительная функция от х, причем х пробегает все целые значения, лежащие между А и В, или же определенную часть этих значений, например простые, лежащие между А и В. Так 234
Глава X. Простые числа
как модуль е2*" при действительном z равен единице, а модуль суммы нескольких слагаемых не превосходит суммы модулей этих слагаемых, то, заведомо
г
2 е2*>'Л*)
JT=I
<Р. (17)
Эту «тривиальную» оценку удается в ряде случаев существенно улучшить; решающие шаги в этом направлении были сделаны И. М.Виноградовым. Пусть, для определенности, / (х) — многочлен
/ И = *«х" + а,,--^"-1 + • • • + + V
Если все а — целые, то при х целом е2™^*) = 1, и в этом случае, конечно, оценку (17) улучшить нельзя. Если же x1, ...,х„ — не все целые, то, как установил И. М. Виноградов, оценка (17) может быть уточнена в зависимости от приближения какого-либо из этих коэффициентов рациональной дробью с знаменателем, не превышающим некоторого предела (можно показать, что всякое а, лежащее между 0 и 1,
представимо в виде ос = —-|-z, где а и q — целые, взаимно простые, д^т, IzK-, и т—наперед заданное целое, большее единицы).
Созданный Виноградовым метод тригонометрических сумм позволил ему решить ряд труднейших проблем теории чисел. В частности, в 1937 г. И. М. Виноградов разрешил знаменитую проблему Гольдбаха, доказав, что всякое достаточно большое нечетное N представимо в виде суммы трех простых чисел
N =P1+ Ps+ P3. (18)
Эта проблема возникла в 1742 г. из переписки Эйлера с другим членом '^Российской Академии наук—X. Гольдбахом и на протяжении почти двух столетий оставалась нерешенной, несмотря на усилия ряда выдающихся математиков, пытавшихся добиться решения этой проблемы.
Как мы видели, в соответствии с равенством (4) простые числа играют фундаментальную роль при мультипликативном представлении целых чисел, равенство же (18) дает аддитивное представление нечетного числа через простые. Нетрудно видеть, что из (18) вытекает представимость достаточно большого четного числа в виде суммы не более чем четырех простых слагаемых1. Таким образом, теорема Виноградова—Гольдбаха устанавливает глубочайшую связь между аддитивными и мультипликативными свойствами чисел.
1 Вопрос о справедливости предположения Эйлера, что всякое достаточно большое четное N представимо в виде суммы двух простых, до настоящего времени -остается открытым. § 3. О методе Чебышсва
230-
Значение метода тригонометрических сумм, созданного И. М. Виноградовым, не ограничивается одной теорией чисел. В частности, этот метод играет важную роль в теории функций и в теории вероятностей. Некоторое представление о методе Виноградова можно получить в § 4 этой главы.
Читатели, желающие подробнее познакомиться с этим методом, могут обратиться к книге И. М. Виноградова «Метод тригонометрических сумм в теории чисел», предварительно прочитав книгу И. М. Виноградова «Основы теории чисел».
§ 3. О МЕТОДЕ ЧЕБЫШЕВА
Функция Чебышева 0 и ее оценка. Дадим сейчас упрощенное изложение метода Чебышева для подсчета числа простых чисел, лежащих в данных пределах. Для краткости записи условимся употреблять следующие обозначения: если В — некоторая положительная переменная величина, которая может неограниченно возрастать, и А — другая величина, такая, что j А | растет «не быстрее» CB, где С — положительная постоянная ^точнее говоря, если существует постоянная С^> О
такая, что, начиная с некоторого момента, всегда ^ C^, то мы будем писать
