Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
то нашу аналитическую функцию можно непрерывно продолжать, двигаясь вдоль некоторой кривой С. Как уже упоминалось, легко усмотреть, что если точка z опишет замкнутый путь C0, выходящий из точки z0, охватывающий начало координат (рис. 22) и возвращающийся снова в точку Z0, то мы вернемся в точку Z0 с исходным значением In г0, а угол <р увеличится на 2тс. Это показывает, что, продолжая непрерыв-§ 5. Свойство единственности и аналитическое продолжение'
217
ным образом вдоль пути С функцию Lnz, мы увеличим при обходе контура С значение функции на 2та. Если точка z опишет этот замкнутый контур п раз, то вместо исходного значения
(Ln z)n =Inr0 + іф0 мы получим новое значение
(Ln z)„ = In rn -f (2ъп + ?0) і.
Если точка z опишет т раз контур С в обратном направлении, мы получим
(Ln z)_M = In га + (— 2тм + %) і.
Проведенные рассуждения показывают, что на плоскости комплексного переменного мы неизбежно должны рассматривать связанные между собой различные значения Ln z. Функция Ln z бесконечнозначна. Для многозначности функции Ln z особую роль играет точка z = 0, обходя которую мы переходим от одного значения функции к другому. Легко убедиться, что если z описывает замкнутый контур, не окружающий начала координат, то при этом значение Lnz не изменится. Точка z = 0 называется точкой ветвления функции Ln z.
Вообще, если для некоторой функции /(z) при обходе точки а мы переходим от одного ее значения к другому, точка а называется точкой ветвления функции /(z).
Рассмотрим другой пример. Пусть
W = У* Z .
Как отмечалось выше, эта функция тоже многозначна и принимает п значений
Vr (cos I + і sin , Гг (cos + і sin _
Sv (cos 9 + 2^"-1* -Hsin » + 2*0—*>).
Все различные значения нашей функции можно получить, исходя из одного
^o = (cos -J- + і Sin^-)
и описывая замкнутые линии вокруг начала координат, так как при каждом обходе вокруг начала угол <р будет увеличиваться на 2-к.
Описав замкнутую кривую (п — 1) раз, получим, исходя из первого
значения Vz, остальные его (п — 1) значений. Обход контура в /г-й раз приведет к значению корня
^ = VF9 (cos + і Sin = ftr(cos -?. + і sin A),
т. е. мы вернемся к исходному значению корня.¦218
Глава IX. Функции комплексного переменного
Поверхности Римана для многозначных функций. Существует весьма наглядный геометрический способ представления характера многозначности функции.
Рассмотрим опять функцию Lnz и проведем на плоскости z разрез вдоль положительной части оси Ох. Если точке z запретить пересекать разрез, то мы не сможем перейти от одного значения Lnz к другому непрерывным образом. Продолжая Ln z из точки z0, будем приходить лишь к одному значению Lnz.
Полученная таким образом в разрезанной z-плоскости однозначная функция называется однозначной ветвью функции Ln z. Все значения Lnz распадаются на бесконечное множество однозначных ветвей
Легко убедиться, что п-я ветвь на нижней части разреза принимает то же значение, что (п-|-1)-я ветвь на верхней стороне разреза.
Чтобы различить разные ветви Ln z, заготовим бесконечно много экземпляров плоскости z, разрезанных вдоль положительной части оси Ох, и будем значения аргумента z, соответствующие п-й ветви, изображать на п-м листе. Точки, лежащие на разных экземплярах плоскости, но имеющие те же координаты, будут при этом соответствовать одному и тому же числу X -j- iy, только изображение числа на п-м листе означает, что мы рассматриваем п-ю ветвь логарифма.
Чтобы изобразить геометрически, что п-я ветвь логарифма на нижней части разреза п-й плоскости совпадает с (гс-|-1)-й ветвью логарифма на верхней части разреза (гс-|-1)-й плоскости, склеим п-ю плоскость с (гс-)-1)-й, соединив нижнюю часть разреза на п-й плоскости с верхней частью разреза на (гс-[-1)-й плоскости. Это построение приведет нас к многолистной поверхности, имеющей структуру винтовой лестницы (рис. 23). Роль центральной колонны лестницы при этом будут играть точки Z = O. -
lnr-j-iip, 2-xn<р ^2-(/г-}- 1).
Рис. 2.4.§ 5. Свойство единственности и аналитическое продолжение'
219
Если точка переходит с одного листа на другой, то комплексное число возвращается к своему исходному значению, а функция Lnz переходит от одной ветви к другой.
Построенная поверхность носит название поверхности Римана функции Ln z. Риман впервые выдвинул идею построения поверхностей, отображающих характер многозначности аналитических функций, и показал плодотворность этой идеи.
Приведем еще построение поверхности Римана для функции w=\/z. Эта функция двузначна и имеет точку ветвления в начале координат.
Заготовим два экземпляра z-плоскости, расположенных один над другим и рассеченных вдоль положительной части оси Ох. Если z, исходя
из z0, описывает замкнутый контур С, содержащий начало координат, то \jz перейдет от одной ветви к другой, и, следовательно, точка поверхности Римана перейдет с одного листа на другой. Мы этого достигнем, если нижний борт разреза первого листа склеим с верхним бортом разреза второго листа. Если z описывает второй раз замкнутый контур С, то значение \jz должно вернуться к исходному, и, следовательно, точка римановой поверхности должна вернуться к исходному положению на первом' листе. Чтобы этого достигнуть, мы должны теперь нижний борт второго листа подклеить к верхнему борту первого листа. В результате мы получим двухлистиую поверхность, пересекающую самое себя вдоль положительной части оси Ох. Представление об этой поверхности можно получить из рис. 24, на котором изображена окрестность точки Z = O на этой поверхности...