Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
A=O(B),
что читают обычно так: «А есть величина порядка В». Так, например,
sin х = 0 (1),
ибо всегда
I Sinx I ^ . , 1 ^ '
точно так же
Ьэ? cos 2х = 0 (х3).
Будем также обозначать через [х] целую часть х, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее х; так, например,
[х] = 3, [5] = 5, [—1,5] = —2, [0,999] = 0.
Поставим теперь следующий вопрос: пусть р— простое, п — натуральное, а п\, как обычно, обозначает произведение 1 • 2 • 3 ... /г (заметим кстати, что с возрастанием п величина п\ возрастает очень быстро). Какова наибольшая степень а простого р, на которую п[ делится без остатка? 236
Глава X. Простые числа
Среди чисел 1, 2, ..., п будет ровно [^J чисел, делящихся на р;
число тех из них, которые делятся также и на р2, будет J^J ; далее,
из последних чисел будет чисел, делящихся на р3, и т. д. Отсюда нетрудно видеть, что
«=и+га+и+-
^где ряд обрывается сам собой, так как только при п^р*^.
Действительно, в последней сумме каждый сомножитель произведения
1 • 2 • 3 ... п такой, что высшая степень числа р, на которую он делится, равна рт, учитывается ровно т раз: как кратный р, как кратный р2, как кратный рр, ..., наконец, как кратный рт.
Из полученного результата и представимости любого натурального числа в виде (4) вытекает, что п\ будет произведением степеней вида
Рис. 1.
JFI +И-И+-
взятых для всех простых р ^ п. Следовательно, In (л!) будет суммою логарифмов таких степеней, что сокращенно можно записать в виде
р^н
Равенство (19) мы упростим. Так как функция у = \пх— возрастающая, то
m-t-1 т+1 т+1
Inm = Inm j dx<^ J In х dx < In (т-\-1) j dx = In (те-j- 1)
(это особенно ясно из рис. 1). Следовательно, In п\ = In 1 + In 2 + . .. + In п <
2 3 W и
<(" lnacte + J In яйж+...+ J In X dx + In п =Jlnzrfa; + In п,
и—1
с другой стороны,
11—1
In«! > In 1 + j in xdx-\- . .. + [ In xdx-\- J In xdx= J \nxdx.
п—1 § 3. О методе Чебышсва
230-
Пользуясь формулой интегрирования но частям, находим
1
Ж •
1 1
Итак,
[ In ж<а?а: = [ж-1пж]" — j ж • -І • dx = га In га — (га — 1).
л In л — га 1 < In га! < re In re— /г —j— 1 —j— In. л, откуда следует, что
In га! = га In га + О (га). (20)
Заметим, что In га = O (га); более того, In« при га—* оо возрастает медленнее любой положительной степени га, т. е. при любом постоянном а>0
Hm^=O1 (21)
M со "
так как по правилу раскрытия неопределенностей [см. главу ц (том 1), стр. 130].
\_
,. In п ,. п 1,. 1 А
Iim —=- = Iim —=—г = — Iim -= = 0.
н ->¦ 00 п^оо™ 1 * п^со"
Далее находим
2([й+[й+">'<2(?+?+">'=
00
_"V п[пР "Vln ^ o„ "Vln m.
P2 ~^ * m=l
оо
In m
где C0 — сумма сходящегося ряда ^ nJ^ . Абсолютная сходимость
т=і
1
этого ряда устанавливается с учетом (21), например при а. = —, при
помощи признака сравнения и так называемого интегрального признака сходимости рядов [см. главу II (томі), § 14]. Ввиду (20) и (22) равенство (19) может быть приведено к виду
V In/7 = га In га+ О (ге). (23)
Рассмотрим теперь введенную Чебышевым функцию
в(п)=^Ыр (24)
(логарифм произведения всех простых чисел, не превосходящих п). 238
Глава X. Простые числа
Равенство (23) мы может переписать так:
®(т) + в(т)+0©+@(т)+---==га1пл+0('г)- (25>
Действительно, каждый заданный In р войдет во все те суммы вида 0(-^-), где р , т. е. где у. Число же таких сумм 0
равно .
Равенство (25) верно и для нецелых п. Чтобы в этом убедиться,, очевидно достаточно показать, что оно верно для всех х с условием п < x < п +1; для этого достаточно показать, что от замены ті на х левая часть (25) не изменится, а первый член правой части может увеличиться лишь на О (п). Но первое следует из того обстоятельства, что от такой замены ни один из членов левой части не увеличится (обратное могло бы быть лишь при увеличении п не менее чем на единицу) и, конечно, не уменьшится. Второе следует из того, что по формуле для приращений функции [см. гл. II (том 1), стр. 128]
f(x)-1(a) = (x-a)f(l), а<І<х
имеем
X Jn X — ralnre = (x — п) • (In E -(- 1),
причем правая часть последнего равенства меньше In (п + 1) + 1 = О (л), так как 0 х — п 1. Вычитая из равенства (25) умноженное почленно
на 2 равенство, полученное из (25) заменою п на ~ , найдем
2©(|) + 20 (-J)+... =2--J-In 4 + ОД, 0(т) — 0 Ш + 0 (I") — ® (т) + - - • = и 1п2 +0 (/гХ^п,
где C1 есть некоторое положительное постоянное. Но ®(-у) — 0 (yj
не больше всей левой части, так как разности —
0 (-J) — ®(іг)' •¦• не М0ГУТ быть отрицательными. Поэтому из последнего неравенства следует
е (і)-в (!)«>. § 3. О методе Чебышсва
230-
Подставляя здесь вместо п числа j , — получим также
Кт)-в'(т)<с.-т.
..............1
откуда, учитывая, что в Q^ = O при достаточно больших к (когда почленным сложением получим
0
(„X C1 (и + -? + !+...) = 2 С ,п. (26)
Обращаясь далее к равенству (23), находим
°<У;-р lnP- 1п Л» = в ("> < 2С>1л = 0 (л).
P^H P^it
ввиду чего равенство (23) дает
