Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Подобного рода многолистные поверхности, отражающие характер многозначности функции, можно строить для всякой многозначной функции. Различные листы этих поверхностей связываются друг с другом около точек ветвления функции. Оказывается, что свойства¦220
Глава IX. Функции комплексного переменного
аналитических функций тесно связываются с геометрическими свойствами римановых поверхностей. Введение этих поверхностей не только явилось вспомогательным средством для пояснения характера многозначности функции, но играет фундаментальную роль для изучения свойств аналитических функций и развития методов их исследования. Римановы поверхности как бы создали мост, связывающий анализ в области комплексного переменного с геометрией, и не только позволили связать самые глубокие аналитические свойства функции с геометрией, но дали толчок к развитию новой области геометрии —
топологии, занимающейся геометрическими свойствами фигур, остающихся неизменными при непрерывных деформациях.
Один из ярких примеров значения геометрических свойств римановых поверхностей дает теория алгебраических функций, — функций, получаемых путем решения уравнения
левая часть которого есть многочлен от г и гс. Поверхность Римана такой функции непрерывным изменением может быть всегда превращена или в сферу, или в сферу, снабженную несколькими ручками (рис. 25). Характерным свойством этих поверхностей является число ручек. Это число называется родом поверхности и родом алгебраической функции, исходя из которой получена эта поверхность. Оказывается, что род алгебраической функции определяет наиболее важные ее свойства .
Теория аналитических функций возникла в связи с задачей решения алгебраических уравнений. Однако в своем развитии она все время соприкасалась все с новыми и новыми вопросами. Она дала возможность пролить свет на основные классы функций, выдвинутые развитием анализа, механики, математической физики. Ряд центральных фактов ана-
Рис. 25.
/(г, w) = О,
§ 6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ§ 6. Заключение
221
лиза мог быть до конца понят только при выходе в комплексную область. Функции комплексного переменного получили непосредственную физическую интерпретацию как характеристики важнейших векторных полей гидродинамики и электродинамики и дали замечательный аппарат для решения задач, выдвигаемых этими разделами науки. Обнаружились связи теории функций с задачами теории теплопроводности, теории упругости и т. д.
Общие вопросы теории дифференциальных уравнений и специальные методы их решения широко опирались и опираются на теорию функций комплексного переменного. Аналитические функции естественно вошли в теорию интегральных уравнений и общую теорию линейных операторов. Обнаружились тесные связи теории аналитических функций с геометрией. Эти все время расширяющиеся связи теории функций с новыми областями математики и естествознания утвердили жизненность этой теории и непрерывно обогащают ее проблематику.
В нашем очерке мы не могли поставить своей целью дать представление о всех многообразных разветвлениях и связях теории функций. Мы пытались лишь показать разнообразие задач и направлений теории, указывая на элементарные факты, лежащие в основе некоторых из ее основных направлений. Ряд важнейших направлений — связь с теорией дифференциальных уравнений и специальными функциями, теория эллиптических и автоморфных функций, связи с теорией тригонометрических рядов — и многие другие направления совершенно не были затронуты. В других случаях нам приходилось ограничиваться лишь самыми краткими указаниями. Но мы надеемся, чго этот очерк создаст у читателя общее представление о характере и значении теории функций комплексной переменной.
ЛИТЕРАТУРА П о п у л я р,н ая литература
Гончаров В. Л. Элементарные функции комплексного переменного. Энцикл.
элемент, математики, т. 111. Гостехиздат, 1952. M а р к у ш о в и ч А. И. Комплексные числа и конформные отображения. Популярные лекции по математике, вып. 13. Гостехиздат, 1954.
Учебники
Лаврентьев М. А. и Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. Гостехиздат, 1951.
Содержит изложение основных методов этой теории, которое сопровождается большим числом примеров их применения к различным задачам физики.¦222
Глава IX. Функции комплексного переменного
Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Гостехиздат, 1950.
Весьма полный и систематический курс теории функций комплексного переменного.
II р и в а л о в И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. Изд. 9-е, Гостехиздат, 1954.
Титчмарш Е. Теория функций. Перев. с англ. Гостехиздат, .1951.
Это не систематический курс, а лишь введение в различные отделы теории функций комплексного переменного. Основное направление книги — аналитическое, так что геометрическим вопросам в ней уделено сравнительно мало внимания.
Обзорная статья
Бермант А. Ф. и Маркушевич А. И. Теория функций комплексного переменного. Математика в СССР за тридцать лет (1917—1947). Гостехиздат, 1948.Глава X ПРОСТЫЕ ЧИСЛА