Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Сказанное выше о «близости» вероятности р и частоты v при большом числе испытаний п несколько расплывчато; мы ничего не сказали о том, насколько мала разность v — р при том или ином п. Степень близости V к /) получит количественную оценку в § 3. Интересно отметить, что полностью исключить некоторую неопределенность в этом вопросе нельзя. Само утверждение о близости vH р, как это обнаруживается при уточнении вопроса, имеет лишь вероятностный характер.
§ 2. АКСИОМЫ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Поскольку большая роль статистических закономерностей несомненна, возникает вопрос о методах их изучения. Прежде всего возникает мысль о возможности чисто эмпирического, экспериментального их исследования. Так как вероятностная закономерность проявляется в массовых процессах, то представляется естественным, что для ее обнаружения необходимо произвести массовый эксперимент.
Такое представление, однако, истинно лишь отчасти. Установив некоторые вероятностные закономерности экспериментально, можно выводить из них новые вероятностные закономерности логическим или вычислительным путем при помощи некоторых общих допущений. Прежде чем показать, как это делается, мы должны перечислить некоторые основные определения и формулы теории вероятностей.
Из представления о вероятности как о нормальном значении частоты V=^-, где О^т^п, и, следовательно, вытекает, чта
вероятность P(А) любого события А естественно считать лежащей между нулем и единицей2
0<Р(Л)<1. (1)
1 Иногда их называют стохастическими.
- Запись P (AjS) мы для краткости изменим теперь на P(A). § '2. Аксиомы и основные формулы
255-
Два события называются несовместимыми, если они не могут (при осуществлении комплекса условий S) произойти оба. Например, при бросании игральной кости выпадение четного числа очков и выпадение тройки являются событиями несовместимыми. Событие А называется соединением событий A1 и A2, если оно состоит в том, что происходит хотя бы одно из событий A1 или A2. Например, при бросании игральной кости событие А, состоящее в выпадении 1, 2 или 3, является соединением событий A1 и A2, где A1 состоит в выпадении 1 или 2, a A2 — в выпадении 2 или 3. Легко видеть, что для чисел появлений Tn1, т2 и т двух несовместимых событий A1 и A2 и их соединения А = A1^J A2 имеет место равенство m = m1Jrm2, что дает для соответствующих частот V = V1-I-V2.
Это приводит к естественности следующей аксиомы сложения вероятностей:
PM1 LM2) = P ^1)+ P M2), (2)
если события A1 и A2 несовместимы и A1 U A2 обозначает их соединение.
Далее, для достоверного события U естественно принять
Р(?0 = 1. (3)
Вся математическая теория вероятностей строится на простых аксиомах такого типа, как (1), (2) и (3). С точки зрения чистой математики вероятность является числовой функцией от «события», обладающей рядом аксиоматически фиксированных свойств. Свойства вероятностей, выражаемые формулами (1), (2) и (3), служат достаточной основой для построения так называемой элементарной теории вероятностей, если не настаивать на том, что в аксиоматизации нуждаются и сами понятия события, соединения событий и определяемого ниже совмещения событий. Начинающему полезнее держаться наглядного понимания терминов1 «событие» и «вероятность», но полезно знать, что не поддающийся полной формализации реальный смысл этих понятий не влияет на полную формальную отчетливость аксиоматизированного чисто математического изложения теории вероятностей.
Будем называть соединением событий Av A2, ..., Ag, данных в любом числе, событие А, заключающееся в том, что происходит хотя бы одно из этих событий. Тогда из аксиомы сложения легко получаем для любого числа попарно несовместимых событий 4,, A2, ...,Ah и их соединения А
Р(Л) = РМ1) + Р(.42)+...+Р(А,)
(так называемая теорема сложения вероятностей).
Если соединение этих событий есть достоверное событие (т. е. при каждом осуществлении комплекса условий S происходит какое-либо из событий Ak), то
РМ1) + Р(42)+...+РМ,)-1. '256
Глава XI. Теория вероятностей
В этом случае систему событий ^1, ..., Aa называют полной системой событий.
Рассмотрим теперь два, вообще говоря, совместимых события А и В. Событие С назовем совмещением событий А и В (С = AB), если событие С состоит в том, что происходят оба события A vi В1.
Например, если событие А состоит в том, что число очков, выпадающее при бросании игральной кости, четно, а В —в том, что оно кратно трем, то событие С состоит в том, что число очков равно шести.
Пусть при большом числе п повторных испытаний событие А появилось т раз, а событие В появилось I раз, причем к раз вместе с событием А. Отношение к/т естественно назвать условной частотой
события В при условии А. Связывающей частоты — , — и— формуле
HfXt ТЬ ТЬ
к _ к . т
m п ' п
естественно сопоставить следующее определение:
Условной вероятностью P (BjA) события В при условии А называется отношение
Здесь предполагается, конечно, что P (-4)=^=0.
Если события А и В по существу никак не связаны друг с другом,
