Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Во всех видах практической деятельности и познания природы мы постоянно сталкиваемся с кривыми и поверхностями самой различной формы. Путь планеты в пространстве, корабля в море, снаряда в воздухе, след резца на металле, колес на шоссе, пера на ленте прибора, контуры кулачка, управляющего клапанами мотора, и контуры художественного узора, форма провисшего троса, форма специально намотанной спиральной пружины и т. д. — таким примерам различных кривых нет конца. Поверхности тел, тонкие оболочки, цистерны, обшивка самолетов, чехлы, тонкие листовые материалы и т. д. дают бесконечное разнообразие поверхностей. Приемы обработки изделий, оптические свойства, обтекаемость тел, жесткость, прочность и деформируемость тонких оболочек и многие другие свойства зависят в большой мере от геометрической формы поверхности предметов.
Конечно, канавка, оставленная резцом на металле, не есть математическая кривая. Цистерна, даже с тонкими стенками, не есть математическая поверхность. Но в первом приближении, достаточном для исследования многих вопросов, реальные объекты удается изображать математически кривыми и поверхностями.
Вводя понятие математической кривой путем отвлечения от всех причин, ограничивающих возможность уменьшения толщины реальной нити, мы мыслим себе кривую как абсолютно тонкую нить, нить без толщины. В этом абстрактном понятии нам удается отразить совершенно реальные
7 Математика, т. 2 98
Глава VII. Кривые и поверхности
общие свойства предметов, сохраняющиеся при уменьшении их толщины и ширины по сравнению с их длиной.
Аналогично, отвлекаясь от ограниченности возможного уменьшения толщины оболочек и ограниченности возможного уточнения положения границы тел, мы приходим к понятию математической поверхности. Мы не будем давать строгих определений этих хорошо известных понятий. Заметим только, что их математически точное определение не просто и принадлежит топологии.
Наконец, к изучению разных кривых линий и поверхностей нас толкает развитие математического анализа. Достаточно вспомнить, например, что линия служит геометрическим образом функции — важнейшего понятия анализа. Впрочем, с различными графиками каждый встречался, наверно, и независимо от изучения анализа.
Если в элементарной геометрии, созданной еще древними греками, не возникало речи о любой кривой или поверхности, то в аналитической геометрии уже говорят, что «всякая кривая изображается уравнением» и «любое уравнение с двумя переменными х, у изображает кривую на координатной плоскости». Аналогично поверхности задаются в координатах уравнениями z=/ (х, у) или F (х, у, z)=0. Координатный метод, установивший тесную связь геометрии и анализа, дал способы-задания разнообразных кривых и поверхностей уравнениями.
Но все же аналитическая геометрия ограничивается алгебраическими и элементарно геометрическими средствами и не идет дальше исследования отдельных типов фигур. Изучение же любых кривых и поверхностей представляет собой новый раздел — теорию кривых и поверхностей, которую называют также дифференциальной геометрией.
Следует сразу оговорить, что дифференциальная геометрия подчиняет исследуемые кривые и поверхности некоторым общим условиям, связанным с возможностью применения при их исследовании методов анализа. Однако при этом класс допустимых кривых и поверхностей остается практически неограниченно разнообразным, так что ими в огромном числе задач удается с необходимой точностью изображать изучаемые реальные объекты. Самое название «дифференциальная геометрия» указывает на метод этой теории: она пользуется в основном дифференциальным исчисление! и исследует в первую очередь «дифференциальные» свойства кривых и поверхностей, т. е. свойства их «в точке»1. Так, направление линии в точк;
1 Дифференциальная геометрия изучает в первую очередь свойства кривы: и поверхностей «в точке» (т. е. свойства, зависящие от сколь угодно малой окрестности данной точки), причем эти свойства характеризуются величинами, вырг-жаемыми через производные (в данной точке) от тех функций, которые входя"-в уравнения, задающие кривую или поверхность. Именно поэтому дифференциальная геометрия подчиняет исследуемые кривые и поверхности условиям, которые обеспечивают возможность применения дифференциального исчисления: требуете.-, чтобы кривая или поверхность могла быть задана уравнениями, в которые входя~ функции, имеющие достаточное число последовательных производных. Jf I. Понятие о предмете и методе
99
характеризуется касательной, искривление — кривизной (ее точное определение будет дано позже) и т. п. Дифференциальная геометрия исследует свойства малых кусков кривых и поверхностей H только в более далеких своих разделах переходит к исследованию разнообразных кривых и поверхностей «в целом», т. е. на всем их протяжении.
Развитие дифференциальной геометрии неразрывно связано с развитием анализа. Основные операции анализа — дифференцирование и интегрирование — имеют прямой геометрический смысл. Как уже выяснено в главе II (том 1), дифференцированию функции / (ж) соответ* ствует проведение касательной к кривой
