Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Такое определение исходит из естественного способа измерения. На кривой последовательно отмечаются точки A0, АЛ, A2, ¦ ¦ ¦ (рис. 4)
1 Кривую в пространстве можно задавать еще как пересечение двух поверхностей, определяемых уравнениями: F (х, у, 2) = 0, G (х, y,z)=±Q, т. е. кривая задается совокупностью этих двух уравнений. В теоретических выводах чаще всего задают кривую векторно, т. е. положение точки X кривой определяют вектором гI=OX, идущим из начала координат в эту точку. С изменением вектора г его конец X зачерчивает данную кривую (рис. 3). 104
Глава VII. Кривые и поверхности
и измеряются расстояния между ними. Сумма этих расстояний (эта сумма и есть длина вписанной ломаной) выражает приближенно длину кривой. Чтобы определить длину точнее, естественно брать точки А гуще, тогда лучше будут учтены изгибы кривой. Наконец, точное значение длины определяется как предельное значение при безграничном сгущении точек А1. Таким образом, данное определение длины представляет обобщение вполне реального способа измерения длины, производимого все более мелкими шагами.
От определения длины легко перейти к формулам для ее вычисления, когда кривая задана аналитически. Заметим, однако, что математические формулы вовсе не служат для одного вычисления. Они представляют собой сокращенную запись теорем, устанавливающих связи между разными математическими величинами. Теоретическое значение таких связей может далеко превосходить вычислительное значение формулы. Например, теорема Пифагора, выражаемая формулой О Xn Jn ^ г C2 = а2 +
Рис. 5. вовсе не сводится к вычисле-
нию квадрата гипотенузы с, а указывает прежде всего на зависимость между сторонами прямоугольного треугольника.1]
Мы здесь выведем формулу для длины плоской кривой, заданной в декартовых координатах уравнением y = f(x). Предполагается при этом, что функция / (X) имеет непрерывную производную.
Впишем ломаную в кривую (рис. 5). Пусть А„, At^1 — две ее соседние вершины, а х„, у„ и х„+1, уп+ї— координаты этих вершин. Отрезок А„Ап+1 является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого равны
Ахп = \хпП — х„\,. Ayn = ] у„+1 — ?/„ I. Поэтому, согласно теореме Пифагора,
= s/(Axnf-\-(Aynf =Y1 + (Ш2
1 Существование указанного предела, т. е. длины, даже для кривой, расположенной в ограниченной области, заранее неясно. Если кривая очень извивается, то длина ее может быть очень большой. Математически можно задать столь «изви-
листую» кривую, что никакая ее дуга не будет иметь конечной длины (длины вписываемых в нее ломаных будут неограниченно возрастать). § 2>. Теория кривых.
108
Легко представить себе, что если проведенную через точкй An и А„+1 прямую поднимать или опускать параллельно самой себе, то в момент, когда прямая будет отрываться от кривой, она займет положение касательной в какой-то точке В этой кривой, т. е. на участке кривой AnAn^1 есть хотя бы одна точка, в которой касательная наклонена под тем же углом, что и хорда AnAn+г (Это очевидное замечание легко превратить-в строгое доказательство.)
Сказанное позволяет заменить отношение тангенсом угла наклона касательной в точке В, т. е. заменить производной г/ (Hn),
где ?„ — абсцисса точки В. Теперь длина одного звена имеет выражение
AJn+1= VyI + /(U
Вся же длина ломаной есть сумма длин ее звеньев. При сокращенном обозначении сложения знаком 2 имеем
Аж-
Чтобы получить длину кривой, остается перейти к пределу при условии, что наибольшая из величин Ах„ стремится к нулю,
S = Iim 2 V^l+/(W Д*„.
Ая->0
Но такой предел сумм есть не что иное, как интеграл, согласно определению, которое было дано в главе II (томі). Именно, это есть интеграл от
функции yi-j-г/2. Таким образом, длина плоской кривой выражается формулой
ь
S= J Vl+^2 dx, (1>
а
где пределы интегрирования а и Ъ — значения х на концах рассматриваемой дуги кривой.
Вывод соответствующей, HO несколько ИНОЙ формулы ДЛЯ ДЛИНЫ' пространственной кривой оказывается в основном таким же.
Фактическое вычисление длин по этим формулам, конечно, не всегда бывает простым. Так, длина окружности вычисляется посредством формулы (1) довольно сложно. Но, как мы уже сказали, формулы представляют интерес не только для вычисления; в частности, формула (1) важна также для исследования свойств длины, ее связи с другими величинами и т. п. Мы будем иметь случай использовать-формулу (1) в главе VIII. 106
Глава VII. Кривые и поверхности
Касательная. Касательная к плоской кривой уже рассматривалась в главе II (том 1). Ее смысл для пространственной кривой совершенно аналогичен. Чтобы определить касательную в точке А, на кривой берут точку X, отличную от А, и проводят секущую АХ. Затем точку X приближают по кривой к А. Если при этом секущая AX стремится к некоторому предельному положению, то имеющая это предельное положение прямая и называется касательной в точке А 1.
Если различать начало и конец кривой, а тем самым и порядок ее прохождения, то можно говорить о том, какая из точек А ш X
