Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
fPnc. И.
: Iim
о
2 h
где h — расстояние от точки на кривой до касательной в данной точке, а I — длина отрезка касательной от точки касания до проекции на нее точки кривой (рис. 11).
Для доказательства выберем прямоугольную систему координат так, чтобы начало координат совпало с данной точкой кривой, а ось Ox касалась кривой в этой точке (рис. 11). (Для простоты считаем кривую плоской.) Тогда у' = 0 и потому & = |г/"|. Разлагая по формуле Тейлора
функцию y = f(x), задающую кривую, получим: у = -„- у"х2-\-гх2 (здесь 110
Глава VII. Кривые и поверхности
учтено, что 2/ = 0). При этом е-*0, когда ж-^-0. Отсюда вытекает, что A = I у" I = Iim , и так как \y\ = h, X2 = I2, то
1-у 0 ®
7 і- 2h A = Iim -js-.
і-* о 1
Эта формула ноказывает, что кривизна .характеризует скорость отхода кривой от касательной.
Остановимся на некоторых важнейших связях понятия кривизны с задачами механики.
T
Рис. 12.
Первой рассмотрим следующую задачу, Пусть гибкая нить натянута на некоторую опору (рис. 12), причем нить остается в одной плоскости. Требуется найти давление нити на опору в каждой точке, точнее, определить предел
/? = lim , (2>
Де->о ^s
где P — величина силы Р, действующей на опору со стороны участка длины As, содержащего данную точку. Предположим для простоты, что величина T натяжения T вдоль всей нити одинакова.
Рассмотрим точку А и прилегающий к ней участок ABНа участок нити AB длиной As, кроме реакции опоры, действуют только две внешние силы — натяжения на концах, равные по величине и направленные в разные стороны по касательным в концах участка. Поэтому на опору со стороны нити давит сила Р, равная геометрической сумме натяжений на концах. Как видно из рис. 12, вектор P служит основанием AD в равнобедренном треугольнике CAD. Боковые стороны этого треугольника равны T, а угол у при вершине С равен повороту касательной при переходе от А к В.
1 Было бы естественнее взять участок, для которого точка А была бы серединой, но это, не изменив результата, повлекло бы за собой некоторое усложнение-вычислений. § 2>. Теория кривых.
108
G уменьшением As угол <р уменьшается, а угол между P и касательной в точке А приближается к прямому. Поэтому давление направлено перпендикулярно касательной.
Для разыскания величины давления воспользуемся тем, что малая дуга окружности близка по длине к стягивающей ее хорде, и заменим длину хорды AD, т. е. величину Р, длиной Ту дуги AD. Тогда по формуле (2) получим
P = Iim = Iim 1^- = T Iim -%- = Тк.
А,-О As As->0 AS Ai^O А®
Итак, давление в каждой точке равно произведению кривизны на натяжение нити и направлено перпендикулярно касательной в этой точке.
Рассмотрим другую задачу. Пусть материальная точка (т. е. очень малое тело) движется по кривой на плоскости с постоянной по величине скоростью v. Каково ее ускорение в данной точке А? По самому определению ускорения оно равно пределу отношения приращения скорости (за время At) к приросту времени At. Скорость берется при этом не только по величине, но и по направлению, т. е. мы рассматриваем изменение вектора скорости. Стало быть, математически задача о величине ускорения сводится к нахождению предела
W
_ IimIo (? + At) -V (01 — 11111 л * '
4<-*0
где v(t) — скорость в самой точке А, а |®(?-|-Д?) — ®(01 — длина вектора, выражающего разность скоростей. Предел, который нас интересует, можно еще переписать так:
• цт 4-.(,) + .(,+ AQIlim AS1
где As — длина дуги AB, пройденной за время At.
Если обратиться к рис. 13 и учесть, что скорость в каждой точке направлена по касательной, а величина ее постоянна, то разыскание суммы — V (t)V (t At) по геометрической сути дела ничем не будет отличаться от разыскания вектора P в 'предыдущей задаче. Поэтому можно воспользоваться готовым решением предшествующей задачи и, заменяя натяжение скоростью, написать
Iim 1-«(0 + «(, + а,)|=^
Кроме того, lim = v. Поэтому окончательно можно сказать, что уско-
рение, которое испытывает тело при равномерном движении по кривой, равно произведению кривизны на квадрат скорости
W=Uvi (3) 112
Глава VII. Кривые и поверхности
и направлено по нормали к кривой, т. е. по прямой, перпендикулярной к касательной.
Ссылка на геометрическую аналогию, позволившая нам использовать результат решения задачи о нити при решении задачи об ускорении, лишний раз показывает, как отвлечение математических понятий и выводов от конкретных особенностей явления обогащает эти выводы возможностью их разнообразного применения.
Заметим еще, что кривизна, отражающая с механической точки зрения изменение направления движения, оказывается тесно связанной с силами, вызывающими это изменение. Выражение этой связи легко получить, помножив равенство (3) на массу т движущейся точки. Получим
Fn — mw = ViTfik.
Здесь Fv — величина нормальной составляющей силы, действующей на точку.
Соприкасающаяся плоскость. Хотя пространственная кривая и не лежит в одной плоскости, но с каждой ее точкой А, как правило, можно -связать плоскость Р, от которой вблизи этой точки кривая отклоняется меньше, чем от любой другой плоскости. Такая плоскость называется соприкасающейся плоскостью кривой в точке.
