Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
является первой, какая второй. (Так, например, при движении поезда из Москвы во Владивосток, Омск, очевидно, предшествует Иркутску.) В соответствии с этим можно на секущей указать стрелкой направление от первой точки ко второй. Предел таких «направленных секущих» даст нам «направленную касательную» (рис. 6). Стрелка на ней указывает, в какую сторону происходит движение вдоль' кривой в момент прохождения точки А. При движении точки по кривой скорость движения в каждый момент направлена по касательной к проходимой кривой.
Касательная обладает одним важным геометрическим свойством: вблизи точки касания кривая уклоняется от зтой прямой в известном смысле меньше, чем от любой другой прямой. При этом расстояние точки кривой от касательной весьма мало в сравнении с ее расстоя-
XX'
нием до точки касания. Точнее, отношение -jy- (рис. 7) стремится
1 Предел положения секущих может и не существовать, как видно из примера
1
на рис. 13 главы II. Изображенная там кривая у = х sin — колеблется вблизи
нуля так, что секущая OA при приближении А,к О все время колеблется от прямой OM к прямой OL и обратно.
Рис. 6.
Рис. 7. § 2>. Теория кривых.
108
к нулю, когда X стремится к І1. Поэтому на малом отрезке кривая может заменяться касательной с ошибкой, малой в сравнении с размерами взятого отрезка. Это свойство касательной часто используют, заменяя для упрощения выводов малые отрезки кривых отрезками касательных. В соединении с предельным переходом такой прием дает вполне точные результаты.
Интересно проследить, что для кривой, не являющейся прямой, т. е. не имевшей в прежнем смысле направления, мы, сопоставляя ее с прямой, определили ее направление в каждой точке. Тут понятие направления расширилось: оно приобрело смысл там, где раньше его не имело. Это новое понятие направления отражает реальную природу движения по кривой: оно в каждый момент имеет направление и вместе с тем непрерывно изменяет его.
Кривизна. Чтобы судить на глаз о большем или меньшем искривлении рис. 8.
пути, тонкого стержня или линии на
чертеже, не нужно быть математиком. Но уже для простейших задач механики этого общего взгляда недостаточно, нужна точная количественная характеристика искривленности. Ее получают, ясно выражая то содержание, которое имеется в наглядном представлении о кривизне как быстроте изменения направления кривой.
Пусть А—точка на кривой и M — точка, близкая к А (рис. 8). Угол между касательными в этих точках выражает поворот кривой на участке от А до М. Обозначим этот угол через <р. Средняя скорость поворота, точнее средний поворот на единицу длины пути на участке AM
длины \s, очевидно, будет . Кривизну же, как скорость поворота кривой в самой точке А, естественно, определить как предел отношения при M —*¦ А, иначе говоря, при As—»-О., Итак, кривизну определяют формулой
A = Iim -4-.
As-rO As
В качестве примера рассмотрим кривизну окружности (рис. 9). Очевидно, угол <р между радиусами OA, OM и угол <р между касательными в точках А и М, как составленные взаимно перпендикулярными
1 Это утверждение сразу вытекает из самого определения касательной. Дей-
„ XX'
ствительно, как видно из рис. 7, —т-^г = sin а, где а — угол между каеательнои
АЛ,
XX'
Я секущей АХ. Поэтому вместе с а и стремится к нулю. 108
Глава VII. Кривые и поверхности
сторонами, равны. Дуга AM, стягивающая угол <р, имеет длину AS = Cpr, откуда
9 _ 1
As г
©
Значит, отношение постоянно, поэтому кривизна окружности, как
д предельное значение этого отноше-
ния, одинакова во всех точках и равна обратной величине радиуса у.
Выведем формулу кривизны плоской кривой, заданной уравнением у = / (X). За начало отсчета длины дуги примем фиксированную, точку N (рис. 10). Угол <р между касательными в точках А и Mt очевидно, равен по величине изме-Рис. 9. нению угла наклона касательной
при переходе от А к M
<р = |Да|.
Ввиду того что угол а мог и убывать, мы берем абсолютную величину I Aoc j.
1 Заметим, что вообще к понятию кривизны любой кривой можно подойти, сравнивая кривую с окружностью, выполняющей при этом роль образца, эталон» кривизны. Именно: кривизна оказывается величиной, обратной радиусу той окружности, которая наилучшим образом прилегает к кривой вблизи рассматриваемой= точки. § 2>. Теория кривых.
108
Нас интересует величина
A = Iim -г=-= Iim
9 1ДА!
і Aa I
,. Ax la'l
Aff ->- 0 As дї-*0 As aV^O ^s s'
Ax
Длина дуги кривой JVA выражается интегралом
X
S=J Vi+/^,
откуда
^=V і+/.
.Остается найти а'. Мы знаем, что tgх = у'; поэтому a = arctg?/'. Продифференцировав последнее равенство по х, получаем
i + y"
Итак, окончательно
S' (l+j/'T-'
Соответствующие формулы для других способов задания кривой и для пространственных кривых выводятся в обычных курсах анализа или дифференциальной геометрии.
Полученная формула позволяет дать другое геометрическое истолкование кривизны, которое полезно во многих вопросах. Именно, кривизна кривой в данной точке [может быть выражена формулой
