Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь рассмотрим сечение поверхности произвольной плоскостью Q (рис. 26), не проходящей через нормаль. Кривизна А? такой кривой L,
1 Простой подсчет показывает, что k (<р) = Jt1 cos2 <р + к2 siu2 <р обращается в нуль
при <p = arctg|/— и <p = i: — arctg — у- , меняя знак в первый раз с плюса на минус, а во второй раз — с мивуса на плюс. § 3. Основные понятия теории поверхностей
121
как показал Менье1, связана простым соотношением с кривизной кя нормального сечения, идущего в том же направлении, т. е. пересекающего касательную плоскость по той же прямой, что и плоскость Q. Эта связь выражается формулой
где 6 — угол между нормалью и плоскостью Q. (Особенно наглядно справедливость этой формулы можно проследить на примере шара.)
Наконец, кривизна любой кривой, идущей на поверхности и имеющей в качестве соприкасающейся плоскости плоскость Q, как это можно
показать, совпадает с кривизной линии пересечения поверхности с плоскостью Q.
Итак, при известных Zc1 и к2 кривизна любой кривой на поверхности определяется направлением ее касательной и углом между ее соприкасающейся плоскостью и нормалью к поверхности. Таким образом, характер искривления поверхности в данной точке определяется двумя числами A1 и к2. По абсолютной величине они равны кривийнам двух взаимно перпендикулярных нормальных сечений, а их знак указывает направление вогнутости соответствующего нормального сечения по отношению к выбранному направлению нормали к поверхности.
Докажем приведенные выше теоремы Эйлера и Менье.
1. При доказательстве теоремы Эйлера воспользуемся следующей леммой. Если функция f(x, у) имеет в данной точке непрерывные вторые производные, то оси координат можно повернуть на такой угол а, что в новых координатах смешанная производная fx,y, будет в этой точке равна нулю2. Напомним, что при повороте
1 Менье (1754—1793) — французский математик, ученик Монжа, был генералом революционной армии и умер от ранения в бою.
2 Мы будем пользоваться сокращенным обозначением частных производных,
например, вместо будем писать fx- вместо ^2 будем писать jyy и т. п.
Рис. 25
Рис. 26 122
Глава VII. Кривые и поверхности
осей новые переменные х', у' связаны с х, у формулами
х = х' cos а — у' sin а; у = х' sin а -f- у' cos а [см. главу III (том 1), § 7]. Для доказательства леммы заметим, что
дх
ду
дх
ду
= Sina, т—г =—sina, -~ = coso.. ду' ду'
Вычисляя теперь производную fx,y, по правилам дифференцирования сложных функций, после подсчета получим
1
fXrу' = /зд C0S 2a + 2" Uw ~ Sln Ъ>
Рис. 27.
откуда легко следует, что при
ctg 2a = 1 f"X~hs
действительно будет
W=0-
Рассмотрим теперь поверхность F, заданную уравнением z = / (х, у), причем начало координат поместим в исследуемой, точке М, а оси Ox, Oy будем считать выбранными в касательной плоскости P и повернутыми так, что fxv (0, 0)=0. Возьмем в плоскости P произвольную прямую, образующую с осью Ox угол ф, и рассмотрим нормальное сечение L, идущее в направлении этой прямой (рис. 27). Согласно формуле, выведенной в § 2, взятая со знаком кривизна L в точке M равна § 3. Основные понятия теории поверхностей
123
Здесь f(x, у) — взятое со энаком расстояние точки на L до выбранной прямой. Разлагая / (х, у) по формуле Тейлора (глава 11, § 9) и замечая, что /а, (0, 0) = = /»(0> 0) = 0 (так как оси Ox, Oy лежат в касательной плоскости), получим
/ (*. У) = 4 (W2 + fyyV2) + s (*2 + У2),
где е->0 при х-*- 0, у->0. Для точек на L имеем х = S cos 9, у = і sin <р, ^2 = а;2_]_у2 (рис. 27), поэтому получаем
^ = COS29 + у Sin4 + 242 = ^ сод2 Ф + /wSin2 9
7Г
Полагая 9 = 0, 9 = , убеждаемся, что fxx, ]уу — кривизны къ A2 нормальных
сечений в направлении осей Ox и Oy. Поэтому полученная формула и есть формула Эйлера: к = ki cos2 ? + A2 sin2 9. (То обстоятельство, что A1 и A2 играют роль .максимальной и минимальной кривизны, уже следует из этой формулы.)
Рис. 28.
2. Для доказательства теоремы Менье рассмотрим нормальное сечение Ln- и сечение L, плоскость которого повернута относительно плоскости сечения Lh. на угол б, как указано на рис. 28. Оси Ox, Oy расположим в касательной плоскости и притом так, чтобы ось [Ох в начале координат касалась кривых Lu. и L. Расстояние h (х, у) точки X на L с координатами х, у, f (х, у) до оси Ох, очевидно, 1 /(*, У)
равно h (х, у) ¦
(рис. 28). Пользуясь формулой Тейлора, преобразуем
выражение крнвизны kL линии L следующим образом:
Ul _ lim 2Л (X, у) _ lim 2 I / [X, У) I _ lim I fxxx2 + 2fxvxy + jyyV* + 2е + У2) I (5)
z->0 Xі .!->0 Ж2 COS б ж-Я) Xl COS б
причем ?->0, когда х, у->0. Так как ось Ox касается кривой L, то, очевидно, lim = 0. Поэтому, переходи в формуле (5) к пределу, получаем
ї-Я) X
J. __I fx<c I
cos f
Но при нашем выборе координатной системы линия Lb. имеет уравнение
z = f(x, 0), для нее |АН I = I f \. Поэтому АЛ =
IM.
cos 6
Теорема Менье доказана. 124
Глава VII. Кривые и поверхности
Средняя кривизна. Во многих вопросах теории поверхностей важную роль играют не сами главные кривизны, а зависящие от них вели-чины: так называемая средняя кривизна и гауссова или полная кривизна поверхности в данной точке. Остановимся на них подробнее.
