Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
y=f ДО-
Угловой коэффициент касательной (т. е. тангенс угла ее наклона к оси Ох) и есть не что иное, как производная f'(x) функции/ (х) в соответствующей точке (рис. 1), а площадь «под кривой»
V=f (ж)
численно есть не что иное, как интеграл ь
dx этой функции, взятый в соответ-
а
ствующих пределах. Поскольку в анализе исследуются произвольные функции, то тем самым речь идет и о любых кривых или поверхностях. В анализе рассматривались прежде всего общие приемы изучения хода кривой на плоскости: ее подъема и спуска, большего и меньшего искривления, направления ее выпуклости, мест перегибов и пр. На тесную связь с теорией кривых указывает само название первого курса анализа, изданного французским математиком Лопиталем в 1695 г.: «Анализ бесконечно малых для понимания кривых линий».
Когда дифференциальное и интегральное исчисления после Ньютона, Лейбница и их ближайших последователей достигли к середине XVIII в. достаточного развития, открылась возможность более глубокого их применения в геометрии. С этого момента и начинается уже собственно развитие теории кривых и поверхностей. Для кривых в пространстве и для поверхностей вставали задачи, аналогичные, но несравненно более сложные и богатые содержанием, чем в случае плоских кривых. Эти задачи со временем выросли из рамок простого применения анализа к геометрии и привели к образованию самостоятельной теории кривых и поверхностей, В развитии начал этой теории во второй половине XVIII в. принимали участие многие математики: Клеро, Эйлер, Монж и др., цричем из них именно Эйлера нужно считать основателем общей теории поверхностей. Первым сводным сочинением по теории кривых и поверхностей явилась
7* 100
Глава VII. Кривые и поверхности
книга Монжа «Приложение анализа к геометрии», вышедшая в 1795 г.1 В исследованиях этих математиков и, в частности, в названной книге Монжа явно видны причины, побуждавшие развитие дифференциальной геометрии. Это были растущие потребности механики, физики, астрономии, т. е. в конечном счете потребности техники и промышленности, для которых данных элементарной геометрии было уже совершенно недостаточно.
Связь с запросами практики характерна также для классических работ Гаусса (1777—1855) по теории поверхностей. Работа Гаусса, вышедшая в 1827 г. под названием «Общие исследования о кривых поверхностях», заложила основы дифференциальной геометрии поверхностей, как самостоятельной области математики. В ней были развиты те общие методы и задачи теории поверхностей, о которых будет идти речь в § 4. Гаусс исходил, в частности, из потребностей картографии. Задача картографии состоит в возможно более точном изображении частей земной поверхности на плоскости. Совершенно точное изображение здесь невозможно: отношения масштабов необходимо должны искажаться вследствие искривленности земной поверхности. Поэтому встает задача о нахождении возможно более точных способов изображения. Черчение карт имеет начало в глубокой древности, но создание общей теории представляет достижение нового времени, и оно не было бы возможно без развития общей теории поверхностей и общих методов математического анализа. Отметим, что один из трудных математических вопросов картографии служил предметом исследования П. JI. Чебышева (1821—1894). Ему же принадлежат важные результаты, касающиеся сетей кривых линий на поверхностях. К этим исследованиям его также привели чисто практические задачи.
Общие вопросы отображения одной поверхности на другую и вопросы деформации поверхностей составляют и сейчас один из центральных разделов геометрии. Относящиеся сюда важные результаты были получены еще в 1838 г. Ф. Миндингом (1806—1885), профессором Дерптского (ныне Тартуского) университета.
Ко второй половине прошлого столетия теория кривых и поверхностей уже сложилась в своих основах (если говорить о так называемой чхклассической дифференциальной геометрии», в отличие от более новых направлений, о которых будет идти речь в § 5). Были получены основные уравнения теории кривых — так называемые формулы Френе. В 1853 г. ученик Миндинга по Тартускому университету К. М. Петерсон (1828—1881) .нашел и использовал в своей диссертации основные уравнения теории поверхностей; 15 лет спустя они были получены и опубликованы итальян-
1 Гаспар Монж (1746—1828) был не только выдающимся ученым, но и деятелем французской революции (морским министром, а затем организатором производства пушек и пороха для революционной армии). Он прошел характерный для представителя французской буржуазии путь от якобинца до приверженца империи Наполеона. § 2>. Теория кривых.
108
ским математиком Кодацци, с именем которого эти уравнения обычно связью вают. Петерсон, окончив университет в Тарту, жил и работал в Москве учителем гимназии. Не занимая никакого академического поста, соответствующего его выдающимся научным достижениям, он был тем не менее одним из основателей Московского математического общества и журнала «Математический сборник», выходящего в Москве с 1866 г. до настоящего времени. От Петерсона берет начало московская научная школа дифференциальной геометрии.
