Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
1 Можно показать, что винтовые линии имеют одинаковое кручение во всех своих точках, и ввести понятие кручения любой кривой из ее сравнения с винтовой линией, наилучшим образом приближающей кривую в окрестности данной точки. Кручение характеризует также отличие кривой от плоской. В некотором сочетании с кривизной оно характеризует скорость отхода кривой от ее соприкасающейся плоскости. § 3. Основные понятия теории поверхностей
115
§ 3. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Способы задания поверхности. Естественно, что для изучения поверхностей средствами анализа нужно уметь задавать поверхность аналитически. Проще всего задавать поверхность уравнением
в котором х, у, z — декартовы координаты точки, лежащей на поверхности. При этом функция f(x, у) не обязательно должна быть определена при всех х, у — область ее задания может иметь различное строение. Так, на рис. 15 изображена поверхность, для которой/(я,у) задана внутри кольца. Примеры задания
поверхностей уравнением z=f(x, у) уже известны нам из аналитической геометрии. Мы знаем, например, что уравнение z=Ax-\- By + (? задает плоскость; уравнение z = х2 + г/2 — параболоид вращения (рис. 16). Для применения дифференциального исчисления нужно, чтобы функция f(x, у) имела первые, вторые (иногда и некоторые следующие) производные. Поверхность, представимая таким уравнением, называется регулярной. Геометрически это означает (хотя и не совсем точно), что поверхность непрерывно изогнута, не имеет изломов и иных особенностей. Изучение же поверхностей, не подчиненных этим условиям, например, имеющих острия, ребра и другие особенности, требует новых приемов исследования (см. §5). ..
Однако не всякую поверхность, даже лишенную особенностей, можно представить в целом уравнением вида г=/(х, у). Если каждой паре значений х, у из области задания f(x, у) отвечает вполне определенное z, то это значит, что всякая прямая, параллельная оси Oz, должна иметь с поверхностью не более одной общей точки (рис. 17). Поэтому даже столь простые поверхности, как сферу или цилиндр, нельзя задать в целом уравнением вида z=f(x, у). В этих случаях поверхности задают
г = / (х, у),
Рис. 15.
Рис. 16.
8» 116
Глава VII. Кривые и поверхности
иначе, например неявным уравнением вида F (х, у, z)=0. Так, сфера радиуса R с центром в начале координат имеет уравнение
Z2 + У2 + Z2 = Я2, уравнение X2 -\-у2 = г2 задает цилиндр радиуса г.
Там, где речь идет об изучении лишь малых кусков поверхности, а в классической дифференциальной геометрии в основном ограничиваются задачами такого рода, способ задания поверхности уравнением z—f (х, у) является вполне общим, так как всякий достаточно малый кусок гладкой поверхности пред-.„ ставим в таком виде.
Рис- 17- Tlf с
Мы примем этот способ
за основу, а о других способах задания поверхности расскажем по ходу дела в § 4 и 5.
Касательная плоскость. Аналогично тому, как гладкая кривая в каждой точке имеет касательную прямую, к которой она близка в окрестности этой точки, так и многие поверхности в каждой,своей точке имеют так называемую касательную плоскость.
Точное определение ее следующее. Плоскость Р, проходящая через точку M на поверхности. F, называется касательной к поверхности 'F в этой точке, если угол а между плоскостью P и лучом MX, идущим из M в любую точку X поверхности, стремится к нулю, когда точка X приближается к точке M (рис. 18). Все касательные к кривым, проходящим на поверхности через точку М, лежат, очевидно, в касательной плоскости.
Поверхность F называют гладкой, если она имеет в каждой точке касательную плоскость, положение которой с переходом от точки к точке изменяется непрерывно.
Вблизи точки касания поверхность мало отклоняется от своей касательной плоскости: если точка X приближается по поверхности к точке M, то отклонение точки X от касательной плоскости становится все меньше в сравнении с ее расстоянием от точки M (читатель легко проследит это, мысленно приближая на рис. 18 точку X к М). Таким образом, поверх-BOQTb вблвак точки M как бы сливается с касательной плоскостью. Поэтому § 3. Основные понятия теории поверхностей
117
в первом приближении малый кусок или, как говорят, «элемент» поверху ности можно заменить куском касательной плоскости. Перпендикуляр к касательной плоскости, проведенный в точке касания, играет роль перпендикуляра к поверхности в этой точке и называется нормалью.
Эта возможность замены элемента поверхности куском касательной плоскости проявляется во многих случаях. Например, отражение света от кривой поверхности происходит так же, как отражение от плоскости, т. е. направление отраженного луча определяется обычным законом отражения : луч падающий и луч отраженный лежат в одной плоскости с нормалью к поверхности и образуют с ней равные углы (рис. 19), как если бы
отражение происходило от касательной плоскости. Аналогично прй преломлении света в кривой поверхности каждый луч преломляется на элементе поверхности по обычному закону преломления, как если бы элемент этот был плоским. На этих замечаниях основаны все расчеты отражения и преломления света в оптических приборах. Далее, например, твердые тела, соприкасаясь, имеют в точке прикосновения общую касательную плоскость. Тела соприкасаются элементами их поверхностей, и давление одного тела на другое при отсутствии трения направлено по нормали в точке прикосновения. Это верно также тогда, когда тела касаются не в одной точке, в этом случае в каждой из точек соприкосновения давление направлено по соответствующей нормали. 118
