Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Прежде всего составим так называемую функцию Лагранжа L (г) для нашей струны, т. е. разность кинетической и потенциальной энергий. Из сказанного в § 3 следует, что
I
о
Согласно принципу Гамильтона, интеграл
U
J = J-L(I) dt
принимает наименьшее значение для функции и (х, г), соответствующей истинному движению струны, по сравнению со всеми другими функциями V (х, t), равными нулю при х = 0 и х = 1 и совпадающими при t = t\ и г = г2 с и (х, t{) и u(x,t2)-При этом Z1 и г2 фиксированы произвольно, а функции v должны иметь конечные интегралы S. Вследствие этого принципа так называемая первая вариация S ^см. главу VIII) должна быть равна нулю, т. е.
h I
S^ = j J [ри<Ф, — TuxФа,] dx dt = 0, (25)
о
где Ф (х, t) — произвольная дифференцируемая по х и t функция, равная нулю на сторонах прямоугольника 0 ^ х ^ I, t^ ^t ^t2.
Равенство (25) и есть то условие, которому должна подчиняться искомая функция и(х,1). Если дополнительно известно, что u(x,t) имеет производные второго порядка, то условию (25) можно придать иную форму. Интегрируя (25) яо частям и применяя основную лемму вариационного исчисления, найдем, 94
Глава VI. -Уравнения в частных производных
что и (х, t) должно удовлетворять уравнению
д І ди\ д /_ ди\ „ .„„.
T
которое совпадает с (24), если р ж T постоянны и
Нетрудно видеть, что любое решение и (х, t) уравнения (26) удовлетворяет тождеству (25) для всех указанных Ф. Обратное оказывается неверным, ибо и (х, t) может вообще не иметь вторых производных. Таким образом, мы расширим круг разрешимых задач, если заменим уравнение (26) тождеством (25).
Для выделения какого-то определенного режима колебания струны следует, помимо граничных условий
поставить еще и начальные
и (0, t) = и (I, t) = 0, (27)
(28)
и (х, 0) = <Р0 (г)>
Ut (х, 0) = IP1 (г).
Если решение ищется в классе один раз непрерывно дифференцируемых функций, то условия (27) и (28) можно ставить отдельно от (25), как дополнительные требования. Если же предполагаемое решение «хуже», то эти условия в указанном виде теряют смысл и их следует частично или полностью включить в интегральное тождество (25).
Пусть, например, и (х, t) непрерывно для 0 ^ х ^ I, 0 ^ t ^ Т, а первые производные имеют разрывы. Тогда второе равенство (28) как предельное условие теряет смысл, В этом случае задачу можно поставить так. Найти удовлетворяющую условиям (27) и первому из условий (28), непрерывную функцию и, для которой тождественно выполнялось бы равенство
т і і
J I — ТихФх] dx dt + [ ФіФ (х, 0)dx = Q (29)
0 0 о
при всех непрерывных Ф(г, г), равных нулю при х = 0, х = 1 и г=- Т. Обе функции и и Ф должны иметь при этом первые производные, вторая степень которых интегрируема в смысле Лебега по прямоугольнику 0 ^x ^ I, O^isgT. Последнее требование для и означает, что усредненное по времени значение полной энергии струны
і і
2 T
VlfK + Tul\ dx dt
о о
должно быть конечным. Такое ограничение на функцию и, а потому и на ее возможные изменения Ф является естественным следствием принпипа Гамильтона.
Тождество (29) есть не что иное, как условие равенства нулю первой вариации функционала
5 = I f [?¦ И? - Y «;] dxdt+jviu Ifesl0 dx. ob о
Поэтому задача о колебании закрепленной струны в рассматриваемом случае может быть поставлена как задача разыскания минимума функционала S среди всех функпий V (х, t) непрерывных, удовлетворяющих условию (27) и равных и(х,Т) при t = T. Кроме того, искомая функция должна удовлетворять первому из условий (28).
Приведенное здесь видоизменение принципа Гамильтона позволило не только расширить класс допустимых решений уравнения (24), но и поставить для них определенную краевую задачу. § 6. Обобщенные решения
95
То, что введенные обобщенные решения * или какие-либо их производные могут быть определены не во всех точках пространства, не приводит к несоответствию с экспериментом. На это неоднократно указывал Н. М. Гюнтер, немало способствовавший своими исследованиями становлению новой точки зрения иа понятие решения уравнений математической физики.
Если, например, мы решаем задачу на определение течения жидкости в каком-нибудь канале, то в классической постановке подлежат вычислению вектор скорости течения и давление в каждой точке потока. Но практически речь всякий раз идет не о давлении в точке, а о давлении потока на какую-нибудь площадку, не о векторе скорости в данной точке, а о количестве жидкости, протекающей за единицу времени через какую-нибудь площадку. Определение обобщенных решений и предполагает, по существу, вычисление именно этих величин, имеющих прямой физический смысл.
Для того чтобы большее число задач было разрешимо, следует искать решения среди функций, принадлежащих по возможности к наиболее широкому классу функций, но такому, в котором еще имели бы место теоремы единственности. Нередко такой класс диктуется физической сущностью задачи. Так, в квантовой механике -реальный смысл имеет не функция состояния Ф (^), определяемая как решение дифференциального уравнения Шредингера, а интеграл а„ = j ф ф^ ^ dx,
