Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Из условия (ZfcU-Q = 0 получаем Mk = 0 и, значит, Uk = Nksin~-х.
Подставляя х = 1, получим sin = 0. Это возможно лишь в том случае,
•если = for, где к— целое число. Значит а
акт:
і _
Условие ^Щ<1х = 1 дает Nk = J/^j-78
Глава VI. -Уравнения в частных производных
Окончательно
YJ / V - / 2 . кт.х akut r, . akut
Uk (х) = у Т sin —¦¦, 1 к = Ak cos —— Bksm -j- .
Таким образом, собственные колебания струны, как мы видим, имеют форму синусоид с целым числом полуволн на всей струне. Каждое колебание имеет свою частоту, причем частоты эти можно расположить в возрастающем порядке
ятг „ а~ 0 ait ,an
Хорошо известно, что именно такие частоты мы слышим при колебании звучащей струны. Частота называется частотой основного тона,
а все остальные суть частоты так называемых обертонов. Собственные
/ 2 кпх
функции 1/ -j- sin —-—на промежутке O^ х ^ / меняют знак к— 1 раз.
Действительно, при этом ~— пробегает значения от 0 по k~t и, значит,
синус успевает к—1 раз переменить знак. Точки, где собственная функция Uk обращается в нуль, называются узлами колебаний.
Если мы каким-нибудь приемом заставим струну быть неподвижной в точке, соответствующей узлу, например первого обертона, то основной тон будет погашен, и мы услышим только звук первого обертона, который звучит октавой • выше. Этот прием называется флажолетом и используется при игре на смычковых музыкальных инструментах: скрипке, альте и виолончели.
Мы разобрали метод разделения неременных на примере задачи о собственных колебаниях. Этот метод, однако, имеет значительно более широкую область применения: он применяется для решения задачи о передаче тепла и для решения целого ряда других задач. Для уравнения передачи тепла
Д T=^r <>t
с условиями
74., = 0
мы будем иметь, так же как и ранее,
Г = Ut (X, у, Z).
При этом
К W§ 5. Методы построения решений
79"
Решение получится в виде
OO
T = y^e-lItUk (x,y,Z).
Ir=I
Этот же прием можно использовать с большим успехом и для решения, некоторых других уравнений. Рассмотрим, например, уравнение Лапласа
Au-O
в круге
и пусть нам нужно построить его решение, удовлетворяющее условиям
u\r=i=f(b),
где через гид обозначены полярные координаты некоторой точки на плоскости.
Уравнение Лапласа можно без труда перевести в полярные координаты. Оно примет при этом вид
Ofi + г дг \ г2
Будем опять искать решение этого уравнения в виде
и = 2 ВДМ»)-
»=J
Требуя, чтобы каждый член ряда порознь удовлетворял уравнению,, мы получим
[л>; (г)+1 я; (г)]е, (») + е; (») Rk (r) = о.
Разделив уравнение на —r2 , получим
(?(?)
WVrj —— м») •
Положим опять
% (Щ —
тогда
^K'+ 1?]-W =O-30
Глава VI. -Уравнения в частных производных
Нетрудно видеть, что функция %(Ь) должна быть периодической функцией от Ь с периодом Интегрируя уравнение + 6t(o) = 0,
получим
Ofc = ак cos 1кЬ Ьк sin 1кЬ.
-Эта функция будет периодической с нужным периодом только в случае, если Xk — целое число. Полагая Xk = к, будем иметь
= ак cos кЬ -(- bk sin kb.
Уравнение для Rk имеет общее решение в виде
Сохраняя лишь тот член, который является ограниченным при г-* 0, получим общее решение уравнения Лапласа в виде
OO
и = а0~\- 2 (л* cos &d-J-Ь* sin А®) г*.
Часто тот же прием можно применить и для отыскания нетривиальных решений уравнения AUk IkUk = 0, удовлетворяющих однородным граничным условиям. В случае, когда таким путем удается «вести задачу к задачам решения обыкновенных дифференциальных уравнений, говорят, что задача допускает полное разделение переменных. Полное разделение переменных по методу Фурье, как доказал советский математик В. В. Степанов, может получиться только в некоторых специальных случаях. Метод разделения переменных известен математикам очень давно. Его по существу применяли еще Эйлер, Бернулли и Даламбер. Фурье систематически использовал его для решения задач математической физики, в частности в задачах распространения тепла. Однако во многих случаях этот метод, как мы указали, неприменим; приходится пользоваться другими путями, о которых «ейчас и пойдет речь.
Метод потенциалов. Сущность этого метода состоит попрежнему в наложении частных решений для разыскания решения общего вида. На этот раз в качестве элементарных частных решений используются решения, обращающиеся в какой-либо точке пространства в бесконечность. Каким образом это делается, мы пож ним на примере уравнений Лапласа и Пуассона.
Пусть M0— некоторая точка нашего пространства4 Обозначаем через r(M, M0) расстояние от точки M0 до некоторой другой переменной точки М. Функция
1
Г (М, M0)
при фиксированном M0 является функцией переменной точки М. Легко убедиться в том, что эта функция является гармонической функцией§ 5. Методы построения решений
81"
точки M во всем пространстве1, кроме, разумеется, самой точки M0, где она обращается в бесконечность вместе со своими производными. Сумма нескольких функций такого вида
А'