Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 2" -> 31

Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 2 — Москва, 1956. — 397 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjaniemetodiiznachenie1956.djvu
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 157 >> Следующая


Из условия (ZfcU-Q = 0 получаем Mk = 0 и, значит, Uk = Nksin~-х.

Подставляя х = 1, получим sin = 0. Это возможно лишь в том случае,

•если = for, где к— целое число. Значит а

акт:

і _

Условие ^Щ<1х = 1 дает Nk = J/^j- 78

Глава VI. -Уравнения в частных производных

Окончательно

YJ / V - / 2 . кт.х akut r, . akut

Uk (х) = у Т sin —¦¦, 1 к = Ak cos —— Bksm -j- .

Таким образом, собственные колебания струны, как мы видим, имеют форму синусоид с целым числом полуволн на всей струне. Каждое колебание имеет свою частоту, причем частоты эти можно расположить в возрастающем порядке

ятг „ а~ 0 ait ,an

Хорошо известно, что именно такие частоты мы слышим при колебании звучащей струны. Частота называется частотой основного тона,

а все остальные суть частоты так называемых обертонов. Собственные

/ 2 кпх

функции 1/ -j- sin —-—на промежутке O^ х ^ / меняют знак к— 1 раз.

Действительно, при этом ~— пробегает значения от 0 по k~t и, значит,

синус успевает к—1 раз переменить знак. Точки, где собственная функция Uk обращается в нуль, называются узлами колебаний.

Если мы каким-нибудь приемом заставим струну быть неподвижной в точке, соответствующей узлу, например первого обертона, то основной тон будет погашен, и мы услышим только звук первого обертона, который звучит октавой • выше. Этот прием называется флажолетом и используется при игре на смычковых музыкальных инструментах: скрипке, альте и виолончели.

Мы разобрали метод разделения неременных на примере задачи о собственных колебаниях. Этот метод, однако, имеет значительно более широкую область применения: он применяется для решения задачи о передаче тепла и для решения целого ряда других задач. Для уравнения передачи тепла

Д T=^r <>t

с условиями

74., = 0

мы будем иметь, так же как и ранее,

Г = Ut (X, у, Z).

При этом

К W § 5. Методы построения решений

79"

Решение получится в виде

OO

T = y^e-lItUk (x,y,Z).

Ir=I

Этот же прием можно использовать с большим успехом и для решения, некоторых других уравнений. Рассмотрим, например, уравнение Лапласа

Au-O

в круге

и пусть нам нужно построить его решение, удовлетворяющее условиям

u\r=i=f(b),

где через гид обозначены полярные координаты некоторой точки на плоскости.

Уравнение Лапласа можно без труда перевести в полярные координаты. Оно примет при этом вид

Ofi + г дг \ г2

Будем опять искать решение этого уравнения в виде

и = 2 ВДМ»)-

»=J

Требуя, чтобы каждый член ряда порознь удовлетворял уравнению,, мы получим

[л>; (г)+1 я; (г)]е, (») + е; (») Rk (r) = о.

Разделив уравнение на —r2 , получим

(?(?)

WVrj —— м») •

Положим опять

% (Щ —

тогда

^K'+ 1?]-W =O- 30

Глава VI. -Уравнения в частных производных

Нетрудно видеть, что функция %(Ь) должна быть периодической функцией от Ь с периодом Интегрируя уравнение + 6t(o) = 0,

получим

Ofc = ак cos 1кЬ Ьк sin 1кЬ.

-Эта функция будет периодической с нужным периодом только в случае, если Xk — целое число. Полагая Xk = к, будем иметь

= ак cos кЬ -(- bk sin kb.

Уравнение для Rk имеет общее решение в виде

Сохраняя лишь тот член, который является ограниченным при г-* 0, получим общее решение уравнения Лапласа в виде

OO

и = а0~\- 2 (л* cos &d-J-Ь* sin А®) г*.

Часто тот же прием можно применить и для отыскания нетривиальных решений уравнения AUk IkUk = 0, удовлетворяющих однородным граничным условиям. В случае, когда таким путем удается «вести задачу к задачам решения обыкновенных дифференциальных уравнений, говорят, что задача допускает полное разделение переменных. Полное разделение переменных по методу Фурье, как доказал советский математик В. В. Степанов, может получиться только в некоторых специальных случаях. Метод разделения переменных известен математикам очень давно. Его по существу применяли еще Эйлер, Бернулли и Даламбер. Фурье систематически использовал его для решения задач математической физики, в частности в задачах распространения тепла. Однако во многих случаях этот метод, как мы указали, неприменим; приходится пользоваться другими путями, о которых «ейчас и пойдет речь.

Метод потенциалов. Сущность этого метода состоит попрежнему в наложении частных решений для разыскания решения общего вида. На этот раз в качестве элементарных частных решений используются решения, обращающиеся в какой-либо точке пространства в бесконечность. Каким образом это делается, мы пож ним на примере уравнений Лапласа и Пуассона.

Пусть M0— некоторая точка нашего пространства4 Обозначаем через r(M, M0) расстояние от точки M0 до некоторой другой переменной точки М. Функция

1

Г (М, M0)

при фиксированном M0 является функцией переменной точки М. Легко убедиться в том, что эта функция является гармонической функцией § 5. Методы построения решений

81"

точки M во всем пространстве1, кроме, разумеется, самой точки M0, где она обращается в бесконечность вместе со своими производными. Сумма нескольких функций такого вида

А'
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 157 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed