Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Зная значения и в некоторый узловой момент t в точках х — h, х, х-\-h, нетрудно найти значения и в точке х в следующий узловой момент 14~ к. Пусть постоянная к, т. е. величина шага сетки по t, уже выбрана. Рассмотрим два случая выбора h. Положим в первом случае h2 = k, а во втором случае /г2 = 2А и будем решать методом сеток следующую задачу.
В начальный момент и = 0 для всех отрицательных значений х і B = I для всех неотрицательных значений х. Мы будем иметь, выписывая в одну строку значения неизвестной функции и для определенного момента времени, две таблицы.
Таблица 1
* t ^s4X4 —5h -Ih —3ft -2ft —h 0 h 2h 3 h I kh 5ft
0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
к 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1
2 к 0 0 0 1 —1 2 0 1 1 1 1
3 к 0 0 1 —2 4 —3 3 0 1 1 1
4 ft 0 1 —3 7 —9 10 —6 4 0 1 1
5 к 1 —4 11 —19 26 —25 20 —10 5 0 1 90 Глава VI. -Уравнения в частных производных
Таблица 2
X t -5 h —4ft -3 h -2h —h 0 h 2 h Sh 4 h 5/1
0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1
к 0 0 0 0 1 2 1 2 1 1 1 1
2 к 0 0 0 1 4 ' 1 4 3 4 3 4 1 1 1 1
3 к 0 0 1 8 1 8 1 2 1 2 7 8 7 8 1 1 1
4 к 0 1 16" 1 16 5 16 5 16 11 16 11 16 15 16 15 16 1 1
5 к I 1 1 3 3 1 1 13 13 31 31
32 32 16 36 2 2 16 16 32 32 1
В табл. 2 мы получаем плавно меняющиеся значения от точки к точке для любого момента времени. Эта таблица дает хорошее приближение к решению уравнения теплопроводности. Наоборот, в табл. 1, в которой, казалось бы, точность должна была быть выше из-за более мелкого деления промежутка изменения X, значения и весьма быстро колеблются от положительных значений к отрицательным и достигаю» значительной величины, намного превышающей начальные данные. Ясно, что в этой таблице значения получаются чрезвычайно далекими от тех, которые соответствуют истинному решению.
Из примеров видно, что если мы хотим при помощи метода сетов получить достаточно близкие к истинным и надежные по точности результаты, мы должны проявить большую осторожность в выбор» шагов сетки и предварительными исследованиями оправдать применение данного метода.
Полученные при помощи уравнений математической физики реше» ния тех или иных задач естествознания дают нам математическое описание ожидаемого хода или вида физических явлений, описываемы! этими уравнениями.
Поскольку при построении модели явления G помощью уравнение математической физики мы всегда вынуждены абстрагироваться от многих сторон этого явления, отбрасывать многое как несущественно^ выделять то, что кажется главным, — результаты, полученные прі этом, не являются абсолюно истинными. Они абсолютно верны лишь для той схемы или модели, которую мы рассматривали, но их всегда нужно еще сравнить с опытом для того, чтобы удостовериться, что модель явления, рассмотренная нами, близка к самому явленшс и достаточно точно его воспроизводит.
Окончательным критерием истинности результатов будет, таким -образом, лишь практический опыт. Являясь в конечном итоге един- § 6. Обобщенные решения
91
стзенным критерием истинности полученных результатов, практический опыт, однако, сам может быть разумно поставлен и понят лишь в свете глубоко разработанной теории.
Наблюдая колеблющуюся струну музыкального инструмента, мы понимаем происхождение всех тонов, ею испускаемых, лишь осознав законы сложения собственных колебаний. Соотношения между частотами мы понимаем, исследуя, как эти частоты определяются материалом, натяжением струны и характером закрепления ее концов. Теория не только дает в этом случае способ подсчета каких-либо численных величин, но подсказывает и то. какие именно величины являются характерными, как происходит физический процесс и что в нем надо наблюдать.
Таким образом, выросшая из потребностей практики область науки — математическая физика — сама на эту практику влияет и подсказывает ей пути дальнейшего хода вперед.
Математическая физика самым тесным образом связана с другими областями математического анализа, но мы не можем здесь касаться этих связей потому, что это завело бы нас слишком далеко.
§ 6. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
Круг задач, в которых явление описывается непрерывно дифференцируемыми функциями, удовлетворяющими дифференциальным уравнениям, можно существенно расширить, вводя в рассмотрение разрывные решения этих уравнений.
В ряде случаев заранее ясно, что рассматриваемая задача не может иметь дважды непрерывно дифференцируемых решений, т. е. с точки зрения описанной в предыдущих параграфах классической постановки такая задача не имеет решения. Тем не менее соответствующий физический процесс происходит, хотя мы и не можем найти описывающие его функции в наперед заданном классе дважды дифференцируемых функций. Приведем этому простые примеры.
1) Если струна составлена из двух кусков разной плотности, то в уравнении
д*и_ 2 (?2и
— (24)
коэффициент а равен на соответствующих участках различным постоянным, и поэтому уравнение (24) вообще не будет иметь классических (дважды непрерывно дифференцируемых) решений.
2) Пусть коэффициент а постоянен, но в начальном положении струна имеет форму ломаной, задаваемой уравнением и |г=0 = 9 (х). В вершине ломаной функция <р (X), очевидно, не имеет первой производной. Можно показать, что не существует классического решения уравнения (24), отвечающего начальным условиям
