Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Известный итог развития «классической» дифференциальной геометрии был подведен в четырехтомных «Лекциях по общей теории поверхностей» французского геометра Дарбу, вышедших в 1887—1896 гг. В нашем столетии классическая дифференциальная геометрия продолжает разрабатываться, но центр исследований в теории кривых» и поверхностей перешел в большой мере к новым направлениям, в которых круг изу-; чаемых фигур и их свойств еще более расширился.
§ 2. ТЕОРИЯ КРИВЫХ
Способы задания кривых в дифференциальной геометрии. Из анализа и аналитической геометрии мы уже знакомы с заданием кривых уравнениями. В прямоугольных координатах на плоскости кривую можно задавать либо уравнением
У — /(х)> либо более общим уравнением F(x, 2,) = 0.
Однако этот способ годится только для плоской кривой (т. е. линии на плоскости). Между тем необходимо также уметь задавать уравнениями пространственные кривые (не умещающиеся ни в какой плоскости). Примером такой кривой может служить винтовая линия (рис. 2).
Для целей дифференциальной геометрии и во многих других вопросах наиболее удобно представлять себе кривую как след непрерывного движения точки. Конечно, данная кривая может иметь совсем другое происхождение, но мы всегда можем мысленно заставить какую-либо точку пробегать данную кривую.
Предположим, что в пространстве фиксирована некоторая декартова система координат. Если заставить подвижную точку .Y пробегать кривую за время от і—а до t=b, то координаты этой подвижной точки окажутся функциями времени X (t), y(t), z(t). Наглядными примерами могут 102 Глава VII. Кривые и поверхности
служить, полет самолета или полет снаряда. Обратно, если заранее заданы функции x(t), y(t), z(t), то ими можно определять координаты подвижной точки X. Точка, двигаясь с изменением t, начертит тем самым некоторую кривую. Таким образом, кривые в пространстве можно задавать тремя уравнениями вида:
х = х (t), y=y(t), z = z(t).
Точно так же на плоскости кривая определится двумя уравнениями
x = x(t), y = y{t).
Этот способ задания' кривых является наиболее общим.
Рассмотрим для примера винтовую линию. Она получается при винтовом движении точки, которое складывается из равномерного вращения вокруг некоторой прямой — оси винта — и равномерного перемещения вдоль той же оси. Примем ось винта за ось Oz. Пусть в момент Z=O точка лежит на оси Ох. Найдем зависимость ее координат от времени. Если движение вдоль оси Oz происходит со скоростью с, то, очевидно, смещение в этом направлении за время t будет
Z = Ct.
Если <р — угол поворота вокруг оси Oz и а — расстояние от точки до оси, то, как видно из рис. 2,
X = a costp, y = asin<p.
Так как вращение равномерно, то угол <р пропорционален времени: <р = oaf (со — угловая скорость вращения). Таким образом получаем
X = a coswi, у = a sin Ы, z = ct.
Это и будут уравнения винтовой линии; с изменением t точка с такими координатами зачерчивает винтовую линию.
Конечно, переменной t, или, как обычно говорят, параметру t, не обязательно придавать смысл времени. Кроме того, от данного параметра t можно переходить к другому: можно, например, ввести другую переменную и по формуле t=us или вообще t—f (и) В геометрии наиболее естественно выбирать за параметр длину s дуги кривой, отсчитываемую от какой-либо фиксированной точки А на кривой. Каждому возможному значению Длины s отвечает своя дуга АХ. Поэтому положение X полностью определяется величиной s, и координаты точки X тем самым выразятся как функции длины дуги s
x = x(s), y = y(s), z = z(s).
* При этом, строго говоря, надо, чтобы функция / была монотонной. § 2>. Теория кривых.
108
Все эти, так же как и возможные другие, способы задания кривых1 открывают путь к применению вычислений при исследовании. Только охарактеризовав кривую уравнениями, можно исследовать ее свойства средствами математического анализа.
В дифференциальной геометрии с плоскими кривыми связывают три основных понятия: длину, касательную и кривизну. С пространственными кривыми связывают еще так называемые соприкасающуюся плоскость и кручение. Сейчас мы последовательно выясним смысл и значение этих понятий.
Длина. Сложившееся у каждого человека наглядное представление о длине необходимо уточнить, превратить в точное определение длины математической кривой, которое вело бы к определенной численной характеристике и позволяло с любой степенью точности вычислять длину кривых и строго рассуждать, когда речь идет о длине. Это относится ко всем математическим понятиям. Переход от неоформленных представлений к измерениям и точным определениям как раз представляет собой переход от донаучного понимания предмета к научному. Утвчнение понятий необходимо в конечном итоге для нужд техники и естествознания, развитие которых и потребовало изучения свойств длин, площадей и других геометрических величин.
Простое и наиболее употребительное определение длины следующее: длина кривой есть предел длин вписанных в эту кривую ломаных при условии, что вершины ломаных безгранично сгущаются на самой кривой.
