Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
"Ii=O = tPW' "<1<=0 = °
^здесь и далее щ обозначает
3) Если резко ударить по какому-нибудь маленькому участку струны, то вызванные этим воздействием колебания описываются уравнением 92
Глава VI. -Уравнения в частных производных
где / (х, t) соответствует произведенному воздействию и является разрывной функцией, отличной от нуля лишь на маленьком участке струны и в короткий промежуток времени. Такое уравнение, как легко видеть, также не может иметь классических решений.
Уже приведенные примеры показывают, что требование непрерывности производных у искомого решения сильно сужает круг разрешимых задач. Поиски более широкого круга разрешимых задач пошли прежде всего по пути допущения разрыров первого рода у старших производных тех функций, которые служат решениями задачи, причем уравнению такие функции должны удовлетворять всюду, кроме точек разрыва. Оказалось, что решения уравнения типа Au-O
и ^--Au = 0 внутри области определения не могут иметь таких (так называемых
слабых) разрывов. Решения же волнового уравнения могут иметь слабые разрывы в пространстве переменных х, у, z, t лишь на поверхностях специального вида (так называемых характеристических поверхностях). Если решение и (х, у, z, t) волнового уравнения рассматривать как функцию, определяющую при t = tj скалярное поле в пространстве x,y,z в момент времени tj, то поверхности разрыва вторых производных от и (х, у, z, і) будут перемещаться в пространстве х, у, г со скоростью, равной корню квадратному из коэффициента, стоящего при операторе Лапласа в волновом уравнении.
Однако второй пример со струной показывает, что необходимо также рассматривать ^решения, у которых могут быть разрывны первые производные, а в случае, например, звуковых и световых колебаний — и решения, которые сами имеют разрывы.
Первый вопрос, встающий перед исследователями при введении разрывных решений, заключается в том, чтобы выяснить, какие разрывные функции следует считать физически допустимыми решениями того или иного уравнения, той ИЛЕ иной поставленной для этого уравнения задачи. Можно ли, например, считать произвольную кусочно-постоянную функцию «единым решением» уравнения Лапласа или волнового уравнения, поскольку она вне линий разрыва удовлетворяет уравнениям.
Выясняя этот вопрос, следует прежде всего позаботиться о том, чтобы в том более широком классе функций, которому должны принадлежать все допустимые решения, имела место теорема единственности. Довольно ясно, что если допустить, например, произвольные кусочно-гладкие функции, то это TpeeoBaHHei не будет выполнено.
Первый по времени принцип выделения допустимых решений заключался в том, что эти функции должны быть пределами (в том или ином смысле) для классических решений того же уравнения. Так, в приведенном выше примере 2 решение уравнения (24), отвечающее функции ? (х), не имеющей производной в точке излома, может быть получено как равномерный предел классических решений u„(xti) того же уравнения, отвечающих начальным условиям и„ )г=0 = <р„ (х), Unl |<=_0 = 0, где ф„ (х) — дважды непрерывно дифференцируемые функнии, равномерно сходящиеся K 9 (х) при »-»¦ со.
8 дальнейшем, вместо этого принципа, был выдвинут следующий: допустимое решение и должно удовлетворять вместо уравнения Lu = f некоторому интегральному тождеству, содержащему произвольную функцию Ф.
Это тождество получается так: умножим обе части уравнения Lu=f на произвольную функцию Ф, имеющую непрерывные производные по всем своим аргументам до порядка, равного порядку уравнения, и обращающуюся в нуль вне некоторой конечной области D, в которой определено уравнение. Полученное равенство проинтегрируем по D и затем преобразуем его при помощи интегриро- § 6. Обобщенные решения
93
вания по частям так, чтобы в него не входили производные от и. В результате этого получим желаемое тождество. Для уравнения (24), например, оно имеет вид
JHS-sSP)*"--
D
С. JI. Соболевым было доказано, что для уравнений с постоянными коэффициентами оба принципа выделения допустимых или, как теперь привято называть,— обобщенных решений, эквивалентны. Однако, для уравнений с переменными коэффициентами первый принцип может вообще ^оказаться неприменимым. Такие уравнения могут вообще не иметь классических решений (см. пример 1). Второй же принцип дает возможность выделять обобщенные решения при весьма широких предположениях о дифференциальных свойствах коэффициентов уравнения. Правда, этот принцип имеет на первый взгляд излишне формальный, чисто математический характер и не дает прямого указания на то, как следует ставить задачи, аналогам ные классическим задачам.
Мы приведем здесь его видоизменение, которое, как нам кажется, физически более оправдано, так как непосредственно связано с известным принципом Гамильтона.
Как известно, анализ выводов различных уравнений математической физики привел в первой половине XIX в. к открытию нового закона — так называемого принципа Гамильтона. Исходя из этого принципа оказалось возможным единообразным путем получать все известные уравнения математической физики. Проиллюстрируем это на примере уже рассмотренной в § 3 задачи о колебании ограниченной, закрепленной на концах струны.
