Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
V Л 1
^ i г (М, Mi) ' «=1
где точки M1, M2, . . ., Ma—какие-либо точки в пространстве, снова будет гармонической функцией точки М. Эта функция будет иметь особенности во всех точках Mi. Размещая точки M1, M2, .. ., Mx как угодно плотно в некотором объеме 1>, с одновременным уменьшением коэффициентов Ai, мы можем перейти к пределу в этом выражении и получим новую функцию
і=І а
где точка M' пробегает весь объем Q. Интеграл рассматриваемого вида называется ньютоновым потенциалом. Можно доказать, хотя мы не будем этого делать, что. полученная функция U удовлетворяет уравнению Д?7 = —in А.
Ньютонов потенциал имеет простой физический смысл. Для того
чтобы понять этот смысл, мы начнем с исследования функции г (м*м )
Частные производные этой функции по координатам суть
Ai *'Т* = X, Ai у'~у = Y, Ai Zi~2 =Z.
* г3 ' * г3 > • г3
Поместим в точку Mi массу Ai, которая будет притягивать к себе все тела с силой, направленной к точке Mi и обратно пропорциональной квадрату расстояния. Разложим эту силу на составляющие. Если велит чина самой силы, действующей на какую-либо материальную точку
Ai
с массой, равной единице, есть , то косинусы углов, составленных направлением этой силы с направлениями координатных осей, будут:
Xi — X у і — у Zi'— z _
—-—, —-—, —-—. Следовательно, составляющие той силы, с которой
действует на единичную массу в точке M притягивающий центр Mi,
будут как раз равны X, Y, Z — частным производным от функции
по координатам. Если мы поместим в нескольких точках M1, M2, .. ., Ms притягивающие массы, то каждая материальная точка с массой, равной единице, помещенная в точке М, будет испытывать силу, равную
1 То есть будет удовлетворять уравнению Лапласа. 6 Математика, т. 2 82
Глава VI. -Уравнения в частных производных
равнодействующей всех сил, которые действуют на нее со стороны отдельных точек Mi. Иными словами,
X = +-
д у Ai у_ д Чу1 Aj Z = -1V А{
дх ^mi г (М, Mi) ' ду Ajr (М, Mi) ' dz ^ r(M, Mi) '
Переходя к пределу и заменяя сумму интегралом, мы получим dU dU -п dU ТТ гf Г А >,»
Х = 1Г' Y = w ~дГ' где \)]~Г
s
Функцию U, частные производные от которой равны составляющим силы, действующей на некоторую точку, называют потенциалом этой
А ¦
силы. Поэтому функция г {м 'м.) представляет собою потенциал силы притяжения точки Mi, функция ^yjTJw'lM) — потенциал тяготения
группы точек M1, M2, . .., Ms, а функция = — потенциал
2
тяготения масс, непрерывно распределенных в объеме Q.
Вместо того чтобы распределить массы в некотором объеме, мы можем поместить точки M1, M2, . . ., Mx на некоторой поверхности S. Увеличивая опять число этих точек, получим в пределе интеграл
F = lf ^Tlds' W
8
где Q — точка на поверхности S.
Нетрудно видеть, что эта функция будет гармонической всюду вне поверхности S и всюду внутри нее. На самой поверхности S эта функция, как можно доказать, непрерывна, но ее производные 1-го порядка претерпевают разрыв.
111
д— —
Функции ^a.. , , также представляют собою гармониче-
ские функции точки M при фиксированном Mi. Из этих функций в свою очередь можно составить суммы
И и д — ____ д— __ д —
г
Oyi 1 XJ ' dZi ' _
которые будут гармоническими функциями всюду, кроме, быть может, точек M1, M2, . . ., Ms,
Мы можем опять построить пределы таких сумм при увеличении числа точек M1, M2, . . ., Ms- Особое значение получает интеграл
^ = + {п, у)+ -^JL cos (л, z)jds =
8
= Jf ;*((?)#(<?, M)ds, (23) § 5. Методы построения решений
83"
в котором х', у', т! — координаты переменной точки Q поверхности S', П — направление нормали к поверхности S в точке Q; х, у, Z — направления координатных осей; г — расстояние от Q до точки М, в которой определяется значение функции W.
Интеграл (22) называется потенциалом простого слоя, а интеграл (23) — потенциалом двойного слоя Потенциал двойного слоя, так же как и потенциал простого слоя, представляет собой гармоническую функцию вне и внутри поверхности S.
Много задач теории гармонических' функций может быть решено при помощи потенциалов. При помощи потенциала двойного слоя можно решить задачу о построении в данной области Q гармонической функции и, принимающей заданные значения 2-<р (Q) на границе S этой области. Для того чтобы построить такую функцию, нужно только выбрать соответствующим образом функцию [а((?).
Эта задача несколько напоминает по своей природе задачу о разыскании коэффициентов ряда
? = ^akUk
так, чтобы он представлял левую часть.
Замечательное свойство интеграла W состоит в том, что его предельное значение при приближении точек M к точке Q0 с внутренней стороны поверхности имеет вид
Iim Ж = ((#(<?, (g,,
и -*¦ Qn
Приравнивая это выражение заданной функции 2гор (?), получим уравнение
(?) + Sf Я к (Q, Q0) [Л (Q) ds = ? (Q0).
s
Это уравнение называется интегральным уравнением второго рода. Существует развитая многими учеными теория таких уравнений. Решая это уравнение при помощи какого-либо метода, мы получим и решение интересующей нас задачи.
