Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
E
где Ф,— некоторые функции, для которых J Ф,а!а:< со. Поэтому решение ф сле-
E
дует искать не среди дважды непрерывно дифференцируемых функций, а среди функций, интегрируемых со второй степенью. В задачах квантовой электродинамики вопрос о том, в каких классах следует искать решения рассматриваемых уравнений, до сих пор остается открытым.
Прогресс математической физики за последние тридцать лет во многом связан с переходом к этим новым постановкам задач и с созданием математического аппарата, необходимого для их решения. Одно из центральных мест в этом аппарате занимают так называемые теоремы вложения С. JI. Соболева.
Особенно удобными методами разыскания обобщенных решений в том или ином классе функций являются: метод конечных разностей, прямые методы вариационного исчисления (методы Ритца и Трефтца), метод Галеркина и функционально-операторные методы. В основе последних лежит изучение свойств преобразований, порожденных той или иной задачей, О методе конечных разностей и методе Галеркина уже говорилось в § 5. Здесь мы поясним идею, лежащую в основе прямых методов вариационного исчисления.
Рассмотрим задачу на определение положения равновесия упругой мембраны с жестко закрепленным краем. Согласно принципу о минимуме потенциальной энергии в положении устойчивого равновесия, функция и (х, у), определяющая положение мембраны, должна давать наименьшее значение интегралу
J(u)=\\(ul + ul)dxdy D
по сравнению со всеми другими непрерывно дифференцируемыми функциями v(x,y), удовлетворяющими тому же условию закрепления V I, = <р, что и функция и. При некоторых ограничениях на <р и границу S доказывается, что такой минимум существует и реализуется для гармонической функции, так что искомая функция и есть решение задачи Дирихле: Дм = 0, и|, = ф. Верно и обратное: решение задачи Дирихле дает минимум интегралу J по сравнению со всеми v, удовлетворяющими условию закрепления. 96
Глава VI. -Уравнения в частных производных
Доказательство существования функции и, реализующей минимум J, и ее вычисление с любой степенью точности можно вести, например, следующим образом (метод Ритца). Возьмем бесконечный набор дважды непрерывно дифференцируемых функций {»„ (х, у)}, и = О, 1, 2, ... , равных нулю на контуре при п >0 и раввых <р при и=0. Рассмотрим J на функциях вида
M
V = 2 + »0-
ft=l
где п закреплено, a Ck— произвольные числа. Тогда J (v) будет полиномом второй степени от и независимых переменных C1, C2, . . . ,Ca. Определим Ck из условия, чтобы полином принимал наименьшее значение. Это приводит к системе п линейных алгебраических уравнений с п неизвестными, определитель которой отличен от нуля. Таким образом, числа Ck определяются однозначно. Обозначим соответствующее им V через Vn (х, у). Оказывается, что если система {»„} удовлетворяет некоторому условию «полноты», то функции Vn при п—У ао сходятся к некоторой функции, которая и будет искомым решением задачи.
В заключение заметим, что в зтой главе дано описание лишь простейших линейных задач механики и оставлены в стороне многие еще далеко не до конца разработанные вопросы, связанные с более общими уравнениями в частных производных.
ЛИТЕРАТУРА
Курант Р. и Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1—11. Перев. с нем. Гостехиздат, 1951.
Содержание этой книги охватывает широкий круг методов математической физики.
Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 11, Изд. 14-е, Гостехиздат, 1956.
В одной из глав этого тома приводятся решения простейших задач математической физики.
Франк Ф. и Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. Перев. с нем. ОНТИ, 1937.
Книга написана многими авторами на основе первоначальной редакции, служившей записью лекций Римана. В ней дана математическая постановка значительного числа задач из различных разделов физики и разбор связанных с этими задачами уравнений.
Современные университетские курсы
Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. Изд. 2-е, Гостехиздат, 1953.
Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. IV, Изд. 3-е, Гостехиздат, 1953. Соболев С. Л. Уравнения математической физики. Изд. 3-е, Гостехиздат, 1954,
Специальные монографии
Ладыженская О. А. Смешанная задача для гиперболического уравнения, Гостехиздат, 1953.
M и X л и н С. Г. Проблема минимума квадратичного функционала. Гостехиздат, 1952.
Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Изд. ЛГУ, 1950. Глава VII КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ
§ 1. ПОНЯТИЕ О ПРЕДМЕТЕ И МЕТОДЕ ТЕОРИИ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ
В школьном курсе геометрии изучают только простейшие линии: прямую, ломаные, окружность и ее дуги, а из поверхностей рассматривают, кроме плоскости, поверхности многогранников, шара, конуса и цилиндра. В более обширных курсах изучают еще некоторые кривые; прежде всего конические сечения: эллипс, параболу, гиперболу. Но исследование любой кривой или поверхности совершенно чуждо элементарной геометрии. На первый взгляд кажется даже неясным, какие общие свойства могут быть выделены и изучены, когда речь идет о любых кривых и поверхностях. Однако такое исследование представляется совершенно естественным и необходимым.
