Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Таким же точно образом можно получить и решение других задач теории гармонических функций. Выбрав подходящим образом потен-
1 Названия потенциалов связаны со следующим физическим фактом. Представим себе, что на поверхность S мы нанесли электрические заряды. Они вызовут в пространстве электрическое поле. Потенциал этого поля будет представляться интегралом (22), который поэтому и получил название потенциала простого слоя.
Допустим теперь, что поверхность S — тонкая непроводящая пленка. На одной стороне ее разместим по какому-либо закону электрические заряды одного знака (например, положительные). На другой же стороне S разместим по такому же закону электрические заряды противоположного знака. Действие этих двух электрических слоев также создает в пространстве электрическое поле. Как показывают расчеты, потенциал этого поля будет представляться интегралом (23). 84
Глава VI. -Уравнения в частных производных
цнал, определяют плотность, т. е. величину произвольной функции, входящей в него, так, чтобы удовлетворить всем поставленным условиям.
С точки зрения физики это означает, что всякую гармоническую функцию можно представить как потенциал двойного электрического слоя, если распределить такой слой по поверхности S с надлежащим образом подобранной плотностью.
Приближенное построение решений. Метод Галеркина и метод сеток. 1. Мы указали выше два способа решения уравнений математической физики: метод полного разделения переменных и метод теории потенциалов. Эти методы разработаны еще в трудах ученых XVIII и XIX вв. (Фурье, Пуассона, Остроградского, Ляпунова и других). В XX в. зти методы были дополнены рядом других методов. Мы остановимся на двух из них — методе Галеркина и методе конечных разностей, или методе сеток.
Первый метод был предложен академиком Б. Г. Галеркиным для решения уравнений вида
содержащих неизвестный параметр X. (Здесь i, f, к, I независимо друг от друга пробегают значения 1, 2, 3). Эти уравнения получаются из уравнений, содержащих независимое переменное t, при помощи приема разделения переменных таким же образом, как из волнового уравнения
получается уравнение MJ -(- X2Z/ = 0. Вопрос состоит в том, чтобы найти, при каких значениях X однородная краевая задача будет иметь ненулевое решение, и найти эти решения.
Сущность метода Голеркина состоит в следующем. Неизвестную функцию ищут приближенно в виде
где MmCr1, х2, х3) — какие угодно функции, удовлетворяющие граничным условиям.
а" § 5. Методы построения решений
85"
Предполагаемое решение подставляют в левую часть уравнения для получения приближенного равенства
2Лт 12222Аіт дхJxjdxvixt+222 B*jk
ib=i *
+2 2 с<> 5? + 2 5+Е"-\+2 <¦"»" -
Обозначая для краткости выражение в фигурной скобке через Lmm, запишем это уравнение в виде
2 aJM<» "Г AyamWm aj 0.
Умножим теперь обе части нашего приближенного равенства на ы„ и проинтегрируем по области U, в которой ищется решение. Мы получим:
1112 a»w»jC"')»>du +1.[ j 1 2 a»w»»w"d? ^
S 2
это равенство можно переписать также в виде
N N
2йт J11 M"L">«'dii+12а,п 111 ">m">ndu ^
«i=i a m=i а
Если мы поставим себе целью в точности удовлетворить этим равенствам, то будем иметь систему алгебраических уравнений 1-й степени для неизвестных коэффициентов ат. Число уравнений в ней равно числу неизвестных. Для того чтобы эта система имела решение, не равное нулю, должен равняться нулю ее определитель. Если развернуть этот определитель, то мы получим уравнение iV-й степени для нахождения неизвестного числа 1.
Найдя значения "X и подставив их в систему, мы решим эту систему и получим приближенные значения для функций U.
Метод Галеркина пригоден не только для уравнений 4-го порядка; он может быть применен к уравнениям различных порядков и различных типов.
2. Последний из методов, на котором мы остановимся, — это так Называемый метод конечных разностей или метод сеток.
Производная от функции и по переменной х представляет собою предел отношения
и (х 4" Ах) — и (х) Ax
Это отношение в свою очередь может быть представлено в виде
х-\-Ах 1 I' Ou ,
д7 J -^ldxI' 86
Глава VI. -Уравнения в частных производных
иг на основании известной теоремы о среднем значении (см. главу II, §8):
и (х -f- Да;) — и (х) _ди
Ax дх
где ?— точка из промежутка
X -j- Дж.
Все вторые производные от и, как производные смешанные, так и производные, взятые по одному переменному, могут быть_также приближенно представлены в виде разностных отношений. Действительно, разностное отношение
и (х -f- Ах) — 2и (х) -f- и (х — Ах)
(Aij5 —
представляется в виде
1 (и (х -f- Ах) — и (х) и (X) — и (х — Aa;))_
Ax \ Ax Ax j
__ 1 (Г и (хг Ах) — и (.T1) ~j К=* \ Сьх Xi Ax J |я,=а;—4i J "
На основании теоремы о среднем разностное отношение функции
т/Т 1_Ц (X1 + Ах) — и (X1)
можно заменить значёнием производной. Следовательно,
<Р (arI) — Ф (xi — ДЕ).
Ax
где ?— некоторое среднее значение в промежутке
X — Дж < ? < ж.
Таким образом,
