Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
(І)"[и (х + ~~ 2и № + м — Аж)] = [9 (*) — 9 (х — АжМ = (О-С другой стороны,
и (g -)- Ах) — и (S)
і
Ax
и значит
Ф Ч1) = и' (6 +А»)-И'(6) t TV-/ Ax
Пользуясь еще раз формулой конечных приращений, видим, что
(S) = U''(г,),
где § 5. Методы построения решений
87"
Таким образом,
(І)'[и + Ах) - 2и № + и (х - = а" (ч).
где X—Ax < п <С х +
Если производная и"(х) непрерывна и величина Дх достаточно мала, то и"(п) будет сколь угодно мало отличаться от а"(х). Таким образом, наша вторая производная у сколь угодно близка к рассматриваемому разностному отношению. Так же точно можно показать, что, например, вторая смешанная производная
д*и дх ду
приближенно представляется формулой
Рис. 4.
jfiu I
дїдї = ІЇІІЇ М* + д*> У + by) — и (х + У) — У+ Ay) + U (X, у)].
Вернемся теперь к нашему уравнению в частных производных. Для того чтобы остановиться на чем-либо определенном, допустим, что это уравнение представляет собой уравнение Лапласа с двумя независимыми переменными
дх2 + дуї — U-
Пусть, крома того, неизвестная функция и задана на границе S области Q.
Приближенно принимаем, что
(I2U_и (х-{- As, у) — 2и (ж, у) -(- и (х — Ах, у)
дх2 (ДЖ)2 '
"2ц — и(х'У+ Ьу) — 2и (ж, у) + и (х, у— Ay)
Л/2 (Ду)2
Положим Дх = Дy = h, тогда
S + И* + h> У) Л-и (*. У+ + в (* — У) +
-\-а(х,у — А) — 4в (ж, у)].
1S
? ч
/
I f-> V
/ / /
/ /
і
/
\
- 88
Глава VI. -Уравнения в частных производных
Покроем область 12 квадратной сеткой с вершинами в точках x = kh, yz=bh (рис. 4). Заменим нашу область 12 многоугольником, состоящим из попавших в Q квадратов нашей сетки, причем границу области заменим на ломаную линию. Перенесем на эту ломаную линию значения неизвестной функции, заданные на границе S. Уравнение Лапласа мы приближенно заменим уравнением
u(x + h,y)-\-u(x, y-\-h)-\-u(x — h,y)-\-u(x,y — h) — Au (x,y) = 0'
для всех внутренних точек области. Это уравнение можно переписать в виде
и(х,у) = -? [и(х + h, у) + и (х, у -{-h) + и (х — h, у) -\-и(х, у — h)).
Таким образом, значение и в какой-либо точке сетки, например в точке 1 на рис. 4, равно среднему арифметическому ее значений в четырех соседних точках.
Допустим, что внутри многоугольника оказалось N точек нашей сетки. В каждой такой точке мы получим свое уравнение. Таким образом, получится система N алгебраических уравнений с N неизвестными, решив которую мы получим приближенное значение функции и в области ?2.
Можно показать, что для уравнения Лапласа решение может быть найдено со сколь угодно большой точностью.
Метод конечных разностей сводит решение задачи к решению системы N уравнений с N неизвестными, причем за неизвестные берутся значения разыскиваемой функции в узлах некоторой сетки.
Тот же метод конечных разностей оказывается применимым и для других задач математической физики: для решения дифференциальных уравнений и для решения интегральных уравнений. Однако его применение во многих случаях наталкивается на ряд трудностей.
Может оказаться, что решение системы N алгебраических уравнений с N неизвестными, полученное по методу сеток, либо вообще не существует, либо дает ответ, весьма далекий от истинного. Это происходит тогда, когда решение системы уравнений приводит к накоплению ошибки, и чем меньше мы возьмем длину стороны квадратика сетки, тем больше мы получим уравнений и тем большую накопим ошибку при их решении.
В приведенном выше примере уравнения Лапласа это не так. Ошибка при решении этой системы не накапливается, а, наоборот, постепенно уменьшается, если решать эту систему, например, по методу последовательных приближений. Для уравнения передачи тепла и для волнового уравйения весьма существенным является выбор основной сетки. Можно получить для этих уравнений как хорошие, так и плохие результаты. § 5. Методы построения решений
89"
Если мы будем решать методом сеток какое-либо из этих уравнений, то, после того как сетка значений t выбрана, нужно выбирать для пространственных переменных не слишком мелкую сетку. Иначе мы получим очень плохую систему уравнений для значений неизвестной функции; решение ее даст результат, быстро колеблющийся и притом с большими амплитудами. Этот результат будет весьма далек от истинного.
Разнообразие получающихся возможностей лучше всего можно видеть на простом численном примере. Рассмотрим уравнение
ди_<?2 и
dt "W1 '
в которое переходит уравнение передачи тепла в случае, когда температура не зависит от у и z. Положим шаг сетки вдоль значений і равным к, а вдоль значений х равным h
du ^u (t к, х) — и (f, х) Ot ^ к 1
д2и и (г, X -[- k) — 2и (t, х) -f- и (t, X — h)
dtf ^ ~ h?
После этого наше уравнение может быть приближенно записано в виде: и (t-\-k, х)= ^r и (t, х 4-А) 4-(l — u(t, x) 4- J- U (t,x — h).
