Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Глава VII. Кривые и поверхности
На замене элементов поверхности кусками плоскости может быть основано также определение площади разных поверхностей. Поверхность разбивают на малые куски Fv Fv..., Fn и каждый кусок проектируют на плоскость, касающуюся поверхности в какой-нибудь точке этого участка (рис. 20). Получаются некоторые плоские области Pv P2,..., Pn. Сумма иі площадей дает приближенное значение площади поверхности. Сама же площадь поверхности определяется как предел сумм площадей кусков P1, P2,. . .,Pn при условии, что разбиение поверхности берется все более мелким1. Отсюда можно вывести точное выражение площади в виде двойного интеграла.
Рис. 20.
Уже из этих замечаний ясно значение понятая касательной плоскости. Однако во многих вопросах приближенное представление элемента поверхности плоскостью недостаточно и необходимо учитывать искривленность поверхности.
Кривизна линий на поверхности. Искривленность поверхности в данной точке характеризуется тем, насколько быстро поверхность отходит от своей касательной плоскости. Но в разных направлениях поверхность может отклоняться от касательной плоскости с различной скоростью (так, поверхность, изображенная на рис. 21, в направлении OA отклоняется от плоскости P заметно быстрее, чем в направлении OB). Поэтому естественно определять искривленность поверхности кривизнами линий, проходящих на ней в разных направлениях.
Это делается так. Проведем через точку M касательную плоскость P и выберем определенное направление нормали к ней (рис. 22). Будем рассматривать кривые, которые являются сечениями^ поверхности плоскостями, проходящими через нормаль в точке М\ эти кривые называются нормальными сечениями. Кривизне нормального сечения приписывается
1 Именно так выводится выражение для площади, которое используется в § 1 главы VIII. § 3. Основные понятия теории поверхностей
119
знак. Кривизна сечения берется с плюсом, если его вогнутость направлена в сторону нормали, и с минусом, если она направлена в противоположную сторону. Так, у поверхности, имеющей седлообразную форму и изображенной на рис. 23, при указанном стрелкой направлении нормали к поверхности кривизна сечения MA считается положительной, a MB — отрицательной.
Нормальное сечение задается углом <р, который его плоскость образует с некоторым начальным лучом в касательной плоскости (рис. 22). Зная кривизну нормального сечения к (<р) в зависимости от угла <р, мы будем иметь довольно полное представление о строении поверхности в районе точки М.
Поверхность может быть искривлена самым различным образом и поэтому, казалось бы, зависимость кривизны к от угла <р может быть любой. На самом деле это не так. Для изучаемых в дифференциальной геометрии регулярных поверхностей существует простая закономерность, открытая Эйлером, которая устанавливает связь между кривизнами нормальных сечений, проходящих через данную точку в разных направлениях.
Оказывается, что в каждой точке поверхности существуют два таких направления, которые:
1) взаимно перпендикулярны;
2) кривизны kv к2 нормальных сечений в этих направлениях представляют собой наибольшее и наименьшее значения из кривизн всех нормальных сечений 1J
3) кривизна к({р) нормального сечения, образующего с нормальным сечением кривизны A1 угол <р, выражается формулой
Такие направления называются главными направлениями, а кривизны k\i к2 — главными кривизнами поверхности в данной точке.
Рис. 21.
Рис. 22.
k (<р)=Zc1 cos294"&2 sin2<p.
(4)
1 В частном случае, когда A1 = к2, кривизны всех сечений одинаковы (как,
например, у шара). 120
Глава VII. Кривые и поверхности
Эта теорема Эйлера показывает, что, несмотря на всё разнообразие поверхностей, их строение вблизи каждой точки, рассматриваемое с точностью до величин второго порядка малости по сравнению со сдвигом из данной точки, может быть всего лишь нескольких вполне определенных типов. В самом деле, если величины A1 и A3 имеют одинаковые знаки, то знак к (<р) постоянен, и поверхность вблизи исследуемой точки имеет вид, изображенный на рис. 22. Если A1 и A2 разных знаков, например О, А2<0, то кривизна нормального сечения, очевидно, меняет знак. Это видно из того, что при ір=0 кривизна A=A1^O, а при 9=-5- имеем А=А2<]0.
Из формулы (4) для к ((а) нетрудно убедиться, что при изменении 9 от 0 до тс знак А; (9) меняется дважды1, и, следовательно, вблизи рассматриваемой точки поверхность имеет седлообразную форму (рис. 23).
Когда одно из чисел A3, к2 обращается в нуль, то кривизна все время сохраняет знак, но при одном значении 9 обращается в нуль. Так будет, например, во всякой точке на цилиндре (рис. 24). В общем случае поверхность имеет вблизи такой точки форму, близкую к цилиндрической.
Наконец, при A1 = A2 = O все нормальные сечения имеют нулевую кривизну. Вблизи такой точки поверхность особенно «тесно» прилегает к касательной плоскости. Такие точки называются поэтому точками уплощения. Один из примеров такой точки дан на рис. 25 (точка М). Свойства поверхности вблизи точки уплощения могут быть весьма сложными.
