Математика ее содержание, методы и значение Том 2 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Естественно, что соприкасающаяся плоскость, как плоскость, возможно более плотно прилегающая к кривой, проходит через точку А и касательную T к данной кривой. Но через точку А и прямую Т, содержащую А, проходит много плоскостей. Чтобы выделить из них плоскость, от которой кривая отклоняется менее всего, попробуем проследить за отклонением кривой от касательной. Для этого посмотрим на кривую вдоль касательной Т, иначе говоря, спроектируем нашу кривую на так называемую нормальную плоскость Q, проведенную через § 2>. Теория кривых.
108
точку А перпендикулярно к T (рис. 14). Проекция содержащего А участка нашей кривой образует на плоскости Q некоторую новую кривую (на рис. 14 эта кривая отмечена пунктиром). Обычно она имеет острие в точке А. Если полученная кривая в точке А имеет касательную N, то естественно, что плоскость Р, проходящая через ThN, и будет наиболее плотно прилегать вблизи А к исходной кривой, т. е. будет соприкасающейся плоскостью в точке А. Можно доказать, что в случае, когда функции, задающие кривую, имеют вторые производные и кривизна кривой в точке А отлична от нуля, соприкасающаяся плоскость заведомо существует, и ее уравнение весьма просто выражается через первые и вторые производные от функций, задающих кривую.
Если свойства касательной позволяют рассматривать кривую на малом участке как прямую и совершать при этом ошибку, малую по сравнению с длиной участка, то свойства соприкасающейся плоскости дают возможность пространственную кривую рассматривать на малых участках как плоскую, заменяя ее проекцией на соприкасающуюся Рис. 14.
плоскость, причем здесь ошибки будут малы даже по сравнению с квадратом длины участка дуги.
Прямых, перпендикулярных к касательной, в пространстве много; они заполняют нормальную плоскость в данной точке кривой. Среди этих прямых выделяется одна лежащая в соприкасающейся плоскости прямая N. Эта прямая называется главной нормалью к кривой. Обычно на ней еще фиксируют направление — в сторону вогнутости проекции кривой на соприкасающуюся плоскость. Главная нормаль играет для пространственной кривой такую же роль, как обычная единственная нормаль для плоской кривой. (В частности, если некоторая опора заставляет гибкую нить, имеющую натяжение Т, сохранять форму пространственной кривой, то давление нити на опору в каждой точке равно Tk и направлено по главной нормали. Если по кривой в пространстве движется с постоянной по величине скоростью V материальная точка, то ее ускорение равно kv2 и направлено по главной нормали.)
Кручение. Вдоль кривой от точки к точке положение соприкасающейся плоскости может, конечно, изменяться. Как скорость поворота касательной характеризовалась кривизной, так скорость поворота соприкасающейся плоскости характеризуется новой величиной — кручением кривой. При этом, как и в случае кривизны, скорость берется по отношению к пройденной длине дуги, т. е. если ф — угол между соприкасающимися плоскостями в фиксированной точке А и в близкой к ней
8 Математика, т. 2 114
Глава VII. Кривые и поверхности
точке X, а Дs — длина дуги АХ, то кручение т в точке А определяется как предел1
Кручение имеет знак, зависящий от того, в какую сторону вращается соприкасающаяся плоскость при движении вдоль кривой.
Таким образом, можно представлять себе, что при движении точки по кривой с ней вместе движется лопасть соприкасающейся плоскости с нарисованными на ней касательной и главной нормалью, причем касательная в каждый момент поворачивается в сторону нормали со скоростью, определяемой кривизной, а плоскость поворачивается вокруг касательной со скоростью и направлением, определяемыми кручением.
Простейшими средствами теории дифференциальных уравнений можно доказать основную теорему, которая, грубо говоря, сводится к тому, что кривые с одинаковыми кривизной и кручением равны. Поясним это утверждение. Если от начала кривой сдвигаться по ней на различную длину дуги s, то в зависимости от величины s мы будем попадать в разные точки кривой, в каждой из которых будет свое значение кривизны к и кручения т. Тем самым k(s) и т (s) будут для каждой кривой некоторыми функциями пройденного от начала кривой пути S.
Высказанная теорема утверждает, что если у двух кривых кривизна и кручение как функции длины дуги одинаковы, то кривые равны (т. е. одну из них можно совместить с другой движением). Таким образом, кривизна и кручение как функции длины вдоль кривой уже определяют кривую с точностью до ее положения в пространстве, и можно сказать, что все свойства кривой так или иначе содержатся в зависимостях между ее длиной, кривизной и кручением. Таким образом эти три понятия составляют некоторую законченную основу для разработки разных вопросов, относящихся к кривым. С их помощью вырабатываются также простейшие понятия теории поверхностей, к которым мы сейчас перейдем.
Конечно, теория кривых этим не исчерпывается. В ней вводится много других понятий, связанных с кривой; изучаются специальные типы кривых, семейства кривых, положение кривых на поверхностях, вопросы о форме кривой как целого и т. п. Эти вопросы и методы их решения связаны почти со всеми разделами математики. Круг задач, решение которых может быть получено силами этой теории, чрезвычайно богат и разнообразен.
