Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
где се, (3 — углы между / и положительными направлениями осей Ож, Оу соответственно (рис. 14.5).
Теорема. Если функия z = / (ж, у) имеет в точке Мо(жо, уо) непрерывные частные производные, то в этой точке существу-
0 z ~*
ет производная — по любому направлению I = (cos се, cos (3),
причем
dz dz dz п
— = — cos а + — cos /3, ol ox оу
(14.2)
где
— значения частных производных в точке
dz dz dx dy Мо(ж(ьУо).
Производная по направлению характеризует скорость изменения функции z = /(ж, у) в точке Мо(жо,уо) по направле-—*
нию /. В этом состоит механический смысл производной по направлению. Геометрический смысл производной по направлению
294
Гл. Ц. Частные производные
состоит в том, что она выражает величину наклона функции в направлении. В экономическом смысле производная по направлению от производственной функции есть количество продукции, приходящееся на единицу определенной линейной комбинации факторов.
Рассмотрим вектор а = [ тг~, тг~ I • Тогда скалярное произ-
\дх dy)
ведение вектора а на вектор / = (cos се, cos j3) выражается формулой
- dz dz
а I = —— cos а + — cos p. ох оу
Сопоставляя последнюю формулу с равенством (14.2), получим
dz -
m=aL
С другой стороны, а I = \a\\l\ cosy?, где у? — угол между векторами а и /. Это скалярное произведение имеет максимальное значение при cosy? = 1, т. е. при у? = 0. Таким образом, наиболь-
шее значение
dz
dl
d z d z
достигается в направлении / = ( ——, ——
\ox оу
f dz dz\
Вектор с координатами ——, —— , характиризующии на-
\ох оу J
правление максимального роста функции z = f(x,y) в точке Мо(жо, Уо), называется градиентом функции z = / (ж, у) в этой точке и обозначается grad z или Vz.
Градиент совпадает с нормалью к линии уровня /(ж, у) = = const в точке Mq.
Понятие «градиент» Дж. Максвеллом; ему же принадлежит и обозначение grad. Оно происходит от латинского слова gradior (градиор), означающего «расти» (или от латинского слова gradi-entis (градиентис), означающее «шагающий»). Обозначение V — перевернутую греческую букву А (дельта) — придумал Р. Гамильтон. Этот значок теперь называют «набла» (из-за сходства с остовом древнего музыкального инструмента наблы).
МАКСВЕЛЛ (Maxwell) Джеймс Клерк (1831-1879) — английский физик, создатель классической электродинамики, один из основателей статистической физики, способствовал формированию векто-роного исчисления в виде отдельной математической дисциплины. Стал членом Лондонского королевского общества в 29 лет.
14-8. Частные производные высших порядков
295
ГАМИЛЬТОН (Hamilton) Уильям Роуан (1805-1865) — ирландский математик и астроном, член Ирландской королевской Академии наук. В 22 года — профессор астрономии в Дублинском университете и директор университетской астрономической обсерватории. В его работах дано точное формальное изложение теории комплексных чисел. В механике Гамильтон применил вариационный метод (так называемый принцип наименьшего действия).
Итак, градиент
/ Q 2, О Z \
grad, = V,= ^-, -j
характеризует направление наибольшей скорости изменения функции. В этом состоит механический смысл градиента. С геометрической точки зрения градиент выражает направление наибольшего наклона графика функции, а с экономической — такую линейную комбинацию факторов х и у, при которой наблюдается наибольший выход продукции на единицу этого состава.
Производная функции z = / (ж, у) в направлении / и градиент связаны соотношением
14.8. Частные производные высших порядков
Частными производными второго порядка называют частные производные, взятые от частных производных первого порядка:
d2z д (dz\ ^„
дх2 дх \дх d2z д f dz
____- z"
ду2 ду \ду d2z д f dz
дх ду ду \дх d2z д [dz
ду дх дх \ду
ух •
d2z d2z
Обозначение —^ читается «дэ зет по дэ икс квадрат», а —^~ дх дхду
читается «дэ зет по дэ икс дэ игрек».
296
Гл. Ц. Частные производные
Аналогично определяются частные производные третьего и более высоких порядков. Запись
dnz дхкдуп~к
означает, что функция z продифференцирована к раз по переменной х и п — к раз по переменной у.
Частные производные zxy и z'yX называются смешанными. Значения смешанных производных равны в тех точках, в которых эти производные непрерывны.
V Пример 1. Найти вторые частные производные функции z = хА + 5 х2 у2 + 6 х у + 5. Убедиться в том, что zxy = ZyX.
Решение. Вначале находим первые частные производные данной функции:
z'x = 4 ж3 + 10 х у2 + 6 у, zfy = 10 х2 у + 6 х.
Дифференцируя каждую из полученных производных по х и по у, находим вторые частные производные данной функции:
zxx = 12 ж2+ 10 у2
4у = 20ху + 6,
Zyy — 10 х ,
4'я = 20жу + 6.
Смешанные частные производные равны:
zxy = z'yx = 20 х У + 6- А
Задача 1. Найти смешанные частные производные функции z = х3 у2 + х sin у и показать, что они равны между собой.
Ответ: zxy = zfyX = 6 х2 у + cos у.
14.9. Производная неявной функции от одной переменной
В социально-экономических исследованиях часто возникает ситуация, когда значения двух переменных х и у связаны между собой уравнением, которое, если все члены перенести налево,
