Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
z'x = 6 х2 + у2 + 10 ж, z'y = 2 х у + 2 у.
Находим стационарные точки. Для этого решаем систему уравнений
z'x = 6 х2 + у2 + 10 х = 0, z'y = 2ху + 2у = 0. Решение системы дает 4 стационарные точки:
Л(0,0), Р2(~,0), Р3(-1, 2), Р4(-1, -2).
Находим значения частных производных второго порядка:
zxx — 12 ж + 10; zXy = 2 у, Zyy = 2 х + 2.
Исследуем каждую стационарную точку.
1) В точке Pi(0, 0): Л = 10; В = 0; С = 2; А = 20. Так как А>0иЛ>0, то в этой точке функция имеет минимум:
Zmm = z(0, 0) = 1.
310
Гл. 15. Оптимизационные задачи
( 5 \ 4 40
2) В точке Р2 (--, 0j: А = -10; В = 0; С = --; А = -.
Так как А > 0 и Л < 0, то в этой точке функция имеет максимум:
Zmax = Z ("I' °) = 52^
3) В точке Р3(-1, 2): Л = -2; Р = 4; С = 0; А = -16. Так как А < 0, то в этой точке нет экстремума.
4) В точке Р4(-1, -2): Л = -2; В = -4; С = 0; А = -16. Так как А < 0, то в этой точке нет экстремума. А
Задача. Найти экстремум функции
z — 3 х + 6 ;/у — х2 — х у — у2.
Ответ: zmax = я(0, 3) = 9.
В следующей главе будет рассмотрено приложение этого материала к задачам на экономию ресурсов.
15.2. Экстремум функции многих переменных
Достаточные условия экстремума функции можно сформулировать и на языке квадратичной формы, изучаемой в разделе «Аналитическая геометрия и линейная алгебра». Достаточные условия экстремума функции многих (и не только двух) переменных сводятся к положительной (или отрицательной) определенности квадратичной формы
п
AikAxiAxk,
i,k=l
где А{к — значение ffxfiXk в исследуемой точке.
Прежде чем сформулировать соответствующие теоремы приведем некоторые сведения из о квадратичных формах.
Некоторые сведения о квадратичных формах. Функция вида
п
i,k=l
называется квадратичной формой от переменных х\, x<i, • ••, хп; коэффициенты не зависят от х\, Х2, , хп.
15.2. Экстремум функции многих переменных
311
Если = аы Для всех i,k = 1, 2, ..., п, то квадратичная форма называется симметричной.
Симметричная квадратичная форма от переменных х\, х2, • ••, хп называется положительно определенной (отрицательно определенной), если она имеет положительные (отрицательные) значения при всех значениях переменных х\, х2, , хп, не равных одновременно нулю.
V Пример 1. Проверить положительную определенность формы
6 х\ + 5 х\ + 14 х\ + 4 х\ Х2 — 8 х\ х% — 2 х2 х^.
Решение. Форму можно представить в виде
(2 хх - 3 х3)2 + 2 (х± + х2 + х3)2 + 3 (х2 - х3)2.
Следовательно предложенная для проверки квадратичная форма является положительно определенной. А
Положительно определенные и отрицательно определенные квадратичные формы объединяют под названием знакоопреде-ленных форм.
Если симметричная квадратичная форма имеет как положительные, так и отрицательные значения, то она называется знакопеременной.
V Пример 2. Показать знакопеременность формы
6 х\ + х\ + х\ + 8 х\ Х2 — 8 х\ х% — 2 х2 х%.
Решение. Значение формы равно +6 при х\ = 1, х2 = х% = = 0 и равно —1 при х\ = 1, х2 = —1, х% = 0. Следовательно, предложенная для проверки квадратичная форма принимает как положительные, так и отрицательные значения и поэтому является знакопеременной. А
Сформулируем критерий знакоопределенности симметричной квадратичной формы. Будем называть матрицу
an «12 • • «1п
«г/с|| = «21 «22 • • «2п
«п2 • • Ann
312
Гл. 15. Оптимизационные задачи
матрицей квадратичной формы
п
Ф = ^2 ciikXiXk, aik = aki, г, А; = 1,2, i,k=l
Определители этой матрицы
Ai = an, Д2 =
an ai2
«21 «22
An =
«11 «12 «21 «22
П.
«ln «2n
«nl «n2
ar,
называются главными минорами матрицы ||«г/с|| квадратичной формы Ф.
Критерий Сильвестра. Для того чтобы симметричная положительная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия
Ах > О, А2 > О,
Ап > 0.
Для того чтобы симметричная квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки главных миноров
Аь Д2, Ап
чередовались, причем
Ах < 0.
СИЛЬВЕСТР (Sylvester) Джеймс Джозеф (1814-1897) - английский математик, член Лондонского королевского общества. Родился в Лондоне. Важнейшие работы Сильвестра относятся к алгебре, теории чисел, теории вероятностей, механике и математической физике. Он заложил основы теории элементарных делителей двух квадратичных форм, развил теорию канонических форм, т. е. разрешил задачу сведения формы к простейшему виду. Ему принадлежат все термины этой теории: инвариант, ковариант, коммутант, дискриминант и т. д. Вообще, он ввел очень много употребляемых в современной математике терминов. Учреждена медаль им. Сильвестра.
V Пример 3. Проверить знакоопределенность форм 6 х\ + 5 х\ + 14 х\ + 4 х\ х2 — 8 х\ х% — 2 х2 х%
6 х\ + х\ + х\ + 8 х\ х2 — 8 х\ х% — 2 х2 х% из примеров 1 и 2 по критерию Сильвестра.
15.2. Экстремум функции многих переменных
313
Решение. Для формы из первого примера имеем ац = 6,
откуда
Ai = ац = 6 > О, А2 =
«21 «31
«12 «13 «22 «23 «32 «33
«13 = а31 = 4,
ац «12 6 2
021 022 2 5
6 2 -4
