Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Подобную методику измерения социального неравенства называют методикой соотношения имущественных прослоек. Ее недостаток состоит в том, что вынуждает исследователя оценивать неравенство на глаз и только в качественном отношении: уменьшилось—увеличилось, сильное—слабое, не позволяя количественно измерить его уровень, скажем, в интервале (0, 1).
В последнее время в социальных и экономических науках при изучении неравенства все чаще применяется математика. Разработано несколько видов коэффициентов — коэффициент Лоренца, коэффициент Джини, коэффициент Шютца, коэффициент дифференциации и другие 1) . Преобразование данных в математическую форму дает исследователю много новой ценной информации, которая выражается в концентрированном виде, имеет четкий и ясный смысл.
ЛОРЕНЦ (Lorenz) Макс (1876-1959) — американский экономист и статистик. Дал графическую интерпретацию неравенства в распределении дохода в обществе (кривая Лоренца).
ДЖИНИ (ДЖИННИ) (Gini) Каррадо (1884-1965) - итальянский экономист, статистик, демограф.
Приведем пример использования коэффициента Джини для определения степени неравенства по кривой Лоренца. Кривая Лоренца (рис. 13.2) выражает график зависимости процента доходов от процента, имеющего их населения. По оси Оу откладывается доля населения, имеющих определенный доход; по оси Ох откладывается доля доходов, приходящийся на определенную долю населения. С помощью кривой Лоренца можно оценить степень неравенства в распределении доходов населения. При равномерном распределении доходов кривая Лоренца является
х) См, например: Atkinson А. В. On measurement of inequality. // Journal of Economic Theory. 1970. V. II. P. 244-263; Клосс Б. M. О формализации понятия неравенства. // Математические методы в исследованиях по социально-экономической истории. М., 1975. С. 75-82.
272
Гл. 13. Применение интегрального исчисления..
Рис. 13.2. Кривая Лорен ца
линейной функцией — биссектрисой ОЛ, при неравномерном — кривой вида ОБА. Коэффициентом Джини именуют отношение площади фигуры между биссектрисой OA и кривой Лоренца к площади треугольника ОАС. При коэффициенте, равном 0, налицо полное равенство в доходах населения, при значении коэффициента менее 0,3 — слабое неравенство, при 0,3-0,7 — значительное, при 0,7-1 — сильное.
V Пример. Для одной из стран кривая Лоренца (рис. 13.2) может быть описана уравнени-
ем у = х , где х — доля населения, у Вычислить коэффициент Джини к.
доля доходов населения.
Решение. Так как Sao ас — ^
Sqab =
(х
j I Ju хК
dx = ( - у
1
6'
то
к =
Sqab Sqac
= б:2 = з>0'3-
1
Поскольку к = - принадлежит интервалу (0,3, 0,7), то делаем о
вывод о том, что в изучаемой стране наблюдается значительное неравенство в доходах. А
13.3. Прогнозирование материальных затрат
При прогнозировании материальных затрат часто возникает необходимость вычисления площадей различных сложных фигур. Приведем соответствующий пример, для решения которых используется определенный интеграл.
V Пример. Палуба корабля напоминает две пересекающиеся параболы. Сколько необходимо краски для ее покрытия, если длина корабля 80 м, ширина в центре — 20 м, а на каждый квадратный метр необходимо 0,25 кг краски?
Решение. Введем систему координат следующим образом: начало координат поместим в центре корабля, а ось Ох вдоль
13.4- Прогнозирование объемов потребления электроэнергии
273
Рис. 13.3. Палуба корабля
палубы (рис. 13.3). Чтобы найти площадь палубы, определим уравнение одной из парабол.
Общее уравнение параболы имеет вид у = ах2 + Ьх + с. Так как точки (—40, 0), (40, 0), (0, 10) принадлежат параболе, то они удовлетворяют уравнению параболы:
а • 402 - b • 40 + с = 0, а • 402 + b • 40 + с = 0, с = 10.
Решением этой системы уравнений являются следующие числа: а = —1/160, b = 0, с = 10. Таким образом, уравнение искомой параболы имеет вид
у = -ж2/160 + 10. Площадь половинки палубы корабля равна
40
S =
-40
(-ж2/160 + 10) dx = (-^рз + Ю • я)
+ 400 + 400 = 400-4/3.
= -1600
- 1600
160-3 160-3
Для покраски половины палубы необходимо S • 0,25 = 400/3 (кг) краски. Поэтому для покраски всей палубы потребуется 2 • S = = 2-400/3 ^ 266,7 (кг). А
13.4. Прогнозирование объемов потребления электроэнергии
Потребление энергии каждой лампой или фонарем пропорционально числу часов от захода солнца до его восхода. Чем короче ночь, тем меньше требуется электроэнергии. Самая короткая ночь в году приходится на 22 июня. В этот день электроэнергии потребуется меньше, чем в самую длинную ночь — 22 декабря.
274
Гл. 13. Применение интегрального исчисления..
Таким образом, потребление энергии представляет собой колебательный процесс. Этот процесс может быть описан функцией 1)
w = b + c cos (2тг (* + 0,025)).
(13.1)
Здесь, слагаемое 0,025 определяет, что максимум приходится на t = —0,025, т. е. за 0,025 • 365 = 9 дней до начала каждого года, т. е. на 22 декабря. Множитель 2тг определяет длину периода, равную 1 (году).
V Пример 1. Потребление энергии сетью за год от х = 0 до х = 1 описывается уравнением (13.1), где b и с — некоторые числа. Вычислить потребление энергии сетью за год от t = 0 до t = 1.
