Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Непрерывность функции нескольких переменных проверить напрямую бывает довольно трудно, но это важное свойство функции можно установить более простым способом — воспользовавшись следующим утверждением: если функция z = f(x,y) имеет непрерывные частные производные в точке Mq, то она непрерывна в этой точке и, более того, имеет в этой точке касательную. Как видим, это утверждение, которое мы примем без доказательства, позволяет также проверять существование касательной плоскости к поверхности.
10 Я. М. Ахтямов
290
Гл. Ц. Частные производные
Если поверхность задана уравнением z = f(x, у), то уравнение касательной плоскости в точке Мо(жо? уо, zq) к данной поверхности дается уравнением:
z ~ zo = f'x{xo, Уо) (х - х0) + fy{x0, уо) (у - Уо),
а канонические уравнения нормали, проведенной через точку Мо(жо, Уо, zo) поверхности, имеет следующий вид: х - хо у - уо z - Zo
f'x(xo, У о) fy(xo, у о) -1
В случае, когда уравнение гладкой поверхности задано в неявном виде
F{x, у, z) = 0,
уравнение касательной плоскости в точке Мо(жо? Уо, %о) поверхности имеет вид
Fx(x0, уо, zo) (х - х0) + Fy(x0, у0, z0) (у - уо) +
+ F'z(x0, уо, zo) (z - zo) = 0,
а канонические уравнения нормали, проведенной через точку Мо(жо, Уо, zo) поверхности:
х - Хо _ у - уо _ z - Zo
F'x(xo, уо, zo) F'y(xo, уо, z0) F'z(x0, y0, z0)'
V Пример 1. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z = х2 + у2 + 1 в точке Mq(1, 0, 2).
Решение. Вычисляем f'x(l, 0) и /^(1, 0):
f'x(x,y) = 2x, /?(1,0) = 2-1 = 2,
ft(x,y) = 2y, /?(1,0) = 2-0 = 0.
Отсюда получаем уравнение касательной плоскости в точке Мо(1, 0, 2) к данной поверхности
*-2 = 2-(ж-1) + 0-(у-0),
или
z = 2 х
и канонические уравнения нормали, проведенной через точку Мо(жо, Уо, zo) поверхности:
х -1 _ у -0 _ z - 2 2 ~ 0 ~ -1 ' А
Ц.6. Производная сложной функции
291
V Пример 2. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности F(x, у, z) = х3 + у3 + z3 + х у z — 6 в точке М0(1, 2, -1).
Решение. Вычисляем /^.(1, 0) и /^(1, 0):
Fi(*, у, z) = 3x2 + yz i^(l, 2, -1) = 1,
F'y{x, y1z) = 3y2 + xz1 FJ(1, 2, -1) = 11,
F'z(x, y, z) = 3z2 + yx, F'z(l, 2, -1) = 5.
Отсюда получаем уравнение касательной плоскости в точке Mq(1, 0, 2) к данной поверхности
(х -1) + 11 (у -2) + 5(* + 1) = 0
и канонические уравнения нормали, проведенной через точку Мо(жо, Уо? ^о) поверхности:
х-1 _у-2 _ z + 1 1 ~ 11 ~ 5 А
Задача. Найти уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности z = х2 + Зу2 в точке Mq(—2, 1, 7).
Ответ: Уравнение касательной
4ж - 6у + г + 7 = 0,
а уравнение нормали
ж + 2_у-1_?-7 -4 ~ 6 ~ -1
14.6. Производная сложной функции
Предположим, что имеется данная функция z двух переменных и и V.
z = f(u, v),
причем эти переменные суть функции переменных ж, у, т. е. и = д{х, у), v = h(x, у).
Формула
z = f{g(x, у), у)) определяет сложную функцию.
10*
292
Гл. Ц. Частные производные
Можно доказать, что если функции z, и и v дифференцируемы, то
dz _ dz du ^ dz dv ^ дх du дх dv dx1
dz _ dz du dz dv dy du dy dv dy
V Пример. Найти первые частные производные функции z = (5х - у) \п(х2 + у2).
Решение. Введем обозначения: и = 5 х — у, v = х2 + у2; тогда z = и \nv. Поэтому
dz dz du dz dv . и п 7^— = 7^— • 7^--Ь тт— • т^— = In 7; • 5 Ч---2х =
ох ои ox ov ОХ V
= 5\п(х2 + у2) + 2х^—^,
аГ + ;
dz dz du dz dv Л , л\ и _ тт- = 77- • 77- + 77- • тт- = In • (-1) + - • 2у = оу ои оу ov оу V
i/9 9ч ^ ЪХ — V
= -1п (х2 + у2 ) + 2у^г-А1. к
X +У
В частности, если и и v — функции только одной переменной ж, и, следовательно, и = g(x), v = h(x), то z = f(u, v) = = f(g(x), h(x)) = Z(x). Откуда получаем
dz _ dz du dz dv
dx du dx dv dx
Ho
dz _ dz du _ du dv _ dv
dx dx' dx dx^ dx dx
Следовательно,
dz _ dz du dz dv ^
dx du dx dv dx
14.7. Производная по направлению. Градиент
Пусть функция z = f(x,y) определена в некоторой окрестности точки Мо(жо, 2/о); ^ — некоторый луч с началом Mq; М(х,у) — точка на этом луче, принадлежащая рассмариваемой окрестности
Ц.1. Производная по направлению. Градиент
293
точки М0 (рис. 14.4); А1 — длина отрезка [Мо,М]. Если существует
/(М) - /(Mo)
lim
Al
то этот предел называется производной функции
z = /(ж, у) по направлению I
dz
~dl
в точке Мо и обозначается
(читается «дэ зет по эль»);
здесь / — вектор, имеющий направление луча /.
В частности, частная производ-0 z
ная — есть производная z = f(x,y)
по положительному направлению оси О z
Ож, а —— — производная по положи-ду
тельному направлению оси Оу.
Не ограничивая общности рассу-
Рис. 14.4. Производная по направ-
dz
лению —-ol
У
О
I
се
Рис. 14.5. Единичный вектор I
ждений, можно считать, что / — единичный вектор; тогда он имеет координаты (cos се, sin се) или, что то же самое, (cos се, cos /3),
