Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ахтямов А.М. -> "Математика для социологов и экономистов" -> 75

Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.

Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов: Учеб. пособие. Под редакцией Бунатяна Р.А. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 464 c.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка): matematika_dlya_sotsiologov_i_ekonomistov.djvu
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 123 >> Следующая

у = ж2).
Функции двух и более независимых переменных находят широкое применение в экономике. Приведем примеры лишь некоторых из них:
1. Издержки производства у являются функцией материальных затрат х\ и расходов на оплату рабочей силы х<х'-
у = ж2).
2. Производительность труда у является функцией от уровня квалификации х\ и уровня автоматизации труда ж2.
3. Спрос на товар у является функцией цены товара х\ и средней заработной платы ж2.
ЦЛ. Понятие функции многих независимых переменных
279
В трехмерном пространстве оси координат обозначают через Ох, Оу, Oz. Поэтому функцию двух переменных часто записывают и так:
z = f(x, у).
Такая запись удобна для геометрического ее изображения. Например, графическое представление функции
z = 1 — х — у
есть плоскость, проходящая через точки
(О, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0)
(рис. 14.1).
z = 1 — х — у z = \J\ — х2 — у2
Рис. 14.1. Графическое изображение функций двух переменных
Вообще, функция двух переменных изображается в пространстве некоторой поверхностью (а не линией, как в случае функции одной переменной). Каждой паре чисел х и у соответствует точка Р(х, у) плоскости Оху. В точке Р(х, у) проводим прямую, перпендикулярную плоскости Оху, и отмечаем на ней соответствующее значение функции z\ получаем в пространстве точку М с координатами х, у, z, которая обозначается символом М(х, у, z). Точки М, соответствующие разным значениям независимых переменных, и образуют некоторою поверхность в пространстве. Такая поверхность и есть геометрическое изображение функции z = f(x, у). Например, геометрическое
280
Гл. Ц. Частные производные
изображение функции
z = \Jl — х2 — у2
для переменных х и у есть полусфера (рис. 14.1).
Покажем это с помощью сечений координатными плоскостями. Если z = 0, то х2 + у2 = 1, и, следовательно, сечение плоскостью Оху есть окружность радиуса 1.
Если х = 0, то у2 + z2 = 1 (z ^ 0); сечение плоскостью Ozy есть полуокружность.
Если у = 0, то х2 + z2 = 1 (z ^ 0); сечение плоскостью О^ж есть полуокружность.
Как и функцию одной переменной, функцию двух переменных можно представить не только графически, но и аналитически и в виде таблицы.
Аналитическое выражение для плоскости, проходящей через три точки
(0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0),
есть функция
z = 1 — х — у.
С помощью таблицы функцию z = 1 — х — у можно определить для некоторых значений независимых переменных х и у следующим образом:
х\у 0 1 2 3 4
0 1 0 -1 -2 -3
1 0 -1 -2 -3 -4
2 -1 -2 -3 -4 -5
3 -2 -3 -4 -5 -6
4 -3 -4 -5 -6 -7
В этой таблице каждой паре значений (ж, у) соответствует значение z. Например, паре (1, 0) соответствует значение функции z = 0, а паре (2, 3) соответствует значение функции z = —4.
Представление о функции может дать и метод линий уровня. Геометрическое место точек плоскости, в которых функция z = f(x, у) принимает постоянное значение, называется линией уровня. Это линия пересечения поверхности z = f(x, у) плоскостью z = С и ортогонально спроектированная на плоскость Оху. Сделав несколько таких сечений плоскостями z = (7,
14-2. Область определения, предел и непрерывность
281
z = 3
Сечения плоскостями 2 = 1, z = 2, z = 3
Линии уровня — окружности радиуса 1, л/2, \/3
Рис. 14.2. Линии уровня функции 2
ж2 + '
которые отстоят друг от друга на равное расстояние, и вычертив линии уровня, можно составить представление о самой поверхности. Там где линии уровня проходят близко друг к другу, поверхность поднимается круто, а значит, и функция изменяется быстрее по сравнению с изменением функции в тех местах, где расстояние между соседними линиями больше. Поверхность, определяемая уравнением z = х2 + у2, и ее соответствующие линии уровня изображены на рис. 14.2. Из рисунка видно: чем дальше от начала координат расположены линии уровня, тем они ближе подходят друг к другу. Это означает, что при удалении от начала координат поверхность поднимается все круче. Обратно, чем ближе к началу координат, тем медленнее меняется функция.
Метод линий уровня широко используется в социально-экономической сфере. О его некоторых приложениях изложено в п. 16.5.
14.2. Область определения, предел и
непрерывность функции двух переменных
Область определения. Множество всех значений независимых переменных х и у, для которых определена функция z = = f(x,y) (для которых она вообще имеет смысл), называется областью определения этой функции.
282
Гл. Ц. Частные производные
Например, область определения функции
z = 1 — ж — у
есть вся плоскость Ожу, так как соответствующая формула имеет смысл при всех значениях х и у. Формула
имеет смысл только при тех действительных х и у, при которых
1 - х2 - у2 ^ 0.
Поэтому соответствующая функция определена лишь в круге
х2 + у2 ^ 1.
Предел функции двух переменных. Говорят, что последовательность точек Рп с координатами хП1 уп стремится к точке Pq с координатами жо, Уо, если последовательность расстояний dn точек Рп от точки Pq стремится к нулю при п —> оо. Таким образом, последовательность точек Рп стремится к Pq, если
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed