Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
п
тахЛж^—>-0 .—: г=1
х) Исключение составляет так называемый нестандартный (или неархиме-дов) анализ, зародившийся в 60-х гг. XX в., где вводится четкое определение бесконечно малой величины как некоего гипердействительного числа.
12.8. Геометрические приложения определенного интеграла 251
a dx
№
/(*)
н->
вращаемый прямоугольник диск толщиной dx
Рис. 12.9. Vd = тг f2(x)dx
У
У
а Axj
х
—>
№
вращаемая фигура
1Ах
тело вращения
х
Рис. 12.10. Vx = lim f2(ci)Axi
тахджг—>•() j — ^
где maxAxi —> 0 — максимальная из длин отрезков разбиения. Но выражение
п г=1
есть не что иное, как предел интегральной суммы для функции д(х) = 7г/2(ж), поэтому по определению определенного
252
Гл. 12. Определенный интеграл
интеграла получаем
Ь
Vx = ir f2(x)dx.
С i
Заменим формально в этой формуле переменную ж на f/. Получим формулу
d п
Vy=7t 92{у) dy-
С
Она выражает объем тела, полученного от вращения криволинейной трапеции вокруг оси Оу.
V Пример 4. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох области, ограниченной параболой у = х2 и прямыми у = 0, х = 1 (рис. 12.11).
У У
V
вращаемая фигура тело вращения
1
Рис. 12.11. Vx = тг ^(x2)2dx о
12.8. Геометрические приложения определенного интеграла
253
Решение. Имеем а = О, b = 1, f(x) = х2, откуда
У, = 7г
f2(x) dx = 7Г
(х2)2 dx = тг ^~ 5
1 1 = -тг. А
о 5
V Пример 5. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу области, ограниченной параболой у = х2 и прямыми у = 1, ж = 0 (рис. 12.11).
вращаемая фигура тело вращения
1
Рис. 12.12. Ку = ^ J(V^)2 dy
Решение. Имеем с = 0, d = 1, = д/у , откуда d 1
Vy = 7t
g2(y)dy = тг
i V
ydy = >K —
1 1
= -тг. A о 2
Задача 2. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной линия-
ми у = -, х = 1, 2/ = 2. Ответ: 30 7г.
Задача 3. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями у2 = 4 — х2, х = 0. ^12
Ответ: — тг « 107,23.
15
254
Гл. 12. Определенный интеграл
12.9. Приближенное вычисление определенных интегралов
На практике часто встречаются интегралы, которые не выражаются через элементарные функции или выражаются очень сложно. Нередко подынтегральная функция задается таблицей или графиком. В этих случаях интегралы находят численными методами. Основа численных методов построения формул приближенного вычисления интегралов состоит в замене частичных криволинейных трапеций, образующихся при разбиении отрезка интегрирования, на более простые фигуры. В формуле прямоугольников — это прямоугольники; в формуле трапеций — трапеции; в формуле парабол — параболы. Рассмотрим эти методы более подробно.
Формула прямоугольников. Пусть на отрезке [а, Ь] задана функция у = f(x). Требуется вычислить площадь криволинейной трапеции S, ограниченной кривой у = f(x) и прямыми х = а, х = b и у = О (рис. 12.1).
Ранее было дано определение интегральной суммы. Напомним, как она строилась. Отрезок [а, Ь] разбивался на п промежутков точками xq, xi, ..., хп:
а = Xq < Х\ < Х2 < ... < Хп-1 < Хп = Ь.
На каждом отрезке разбиения выбиралась точка С{ и полагалось
АХ{ — Х{ Х{ — \, % — \, 2, 71.
Тогда произведение f(ci)Axi представляло площадь прямоугольника Si со сторонами f(ci) и Axi. Сумма площадей всех таких прямоугольников равнялась сумме вида
п i=l
причем Sn можно было считать приближенно равной искомой площади S.
Формула прямоугольников практически совпадает с приближенной формулой для определенного интеграла
b
п
f(x)dx » Sn = ^2f(a)Axi.
Отличие состоит лишь в том, что в формуле прямоугольников меньше произвола. Отрезок [а, Ь] делится на равные части (а не
12.9. Приближенное вычисление определенных интегралов
255
произвольным образом, как в определении определенного интеграла), а значения С{ представляют середины соответствующих
ОТреЗКОВ [#г-Ъ хг\-
Итак, формулой прямоугольников называется следующее приближенное равенство:
f(x)dx
(У1 + У2 + ... + Уп),
где
— — длина каждого отрезка, a yi = f (с^), С{ — середина it
отрезка [жг-ъ Х{].
С увеличением п точность формулы неограниченно возрастает. В пособиях по численным методам доказывается, что предельная погрешность Rn = \S — Sn\ формулы прямоугольников составляет
(Ь
24п2
М2,
(12.1)
где М2 — наибольшее значение |//7(ж)| на отрезке [а, 6]. Для эмпирических функций вместо М2 берут наибольшее значение
|А2И
величины
Ах2
V Пример 1. Найти по формуле прямоугольников прибли-
1
dx
женное значение интеграла Решение. Имеем
1 + xz
(= j = 0,785398...).
о
Cl = 0,05 Ш = 0,9995,
С2 = 0,15 т = 0,9780,
сз = 0,25 Уз = 0,9442,
С4 = 0,35 Ш = 0,8909,
С5 = 0,45 Уь = 0,8316,
Сб = 0,55 Уб = 0,7678,
С7 = 0,65 У7 = 0,7029,
С8 = 0,75 Ш = 0,6400,
256
Гл. 12. Определенный интеграл
откуда
с9 = 0,85 сю = 0,95
У9 = 0,5806, Ш = 0,5256,
dx 1 + х2
dx
Л.уюу = 1.7 8581.
Погрешность — — 0,78581 составляет примерно 0,0004. Вычислим теоретическую предельную погрешность. Имеем:
Зж2 - 1
(1 + ж
2\3 '
Наибольшее значение на отрезке [0, 1] равно 2 (оно до-
