Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
стигается при х = 0). Подставляя п = 10, М2 = 2 в формулу для предельной погрешности (12.1), получим Яю = 0,00085 (она никогда не превысит действительную погрешность). Значит, нет смысла вычислять ~yl больше чем на четыре знака. А
Формула трапеций. Формула трапеций также представляет приближенную формулу вычисления определенного интегра-b
ла J f(x) dx.
а
Приближенное значение искомого интеграла можно получить, заменив площадь под кривой площадью под ломаной, расположенной достаточно близко к исходной кривой. Для построения этой ломаной разобьем отрезок интегрирования на п равных
частей длиной h = -—- и на каждом отрезке разбиения [ж^-ъ xi]
заменим часть кривой у = f(x) хордой, соединяющей концевые точки (рис. 12.13). Тогда
f(x)dx&S1 + S2 + ... + Sn,
где S±, S2l ..., Sn — площади трапеций (площади под хордами на каждом из отрезков разбиения). Площадь каждой трапеции Si
12.9. Приближенное вычисление определенных интегралов
257
а б
формула трапеций формула парабол
Рис. 12.13. Приближенные формулы
„ f{Xi-i) + f(Xi)
равна полусумме основании -, умноженный на вы-
соту h =
b — а
s = f(Xi-!) + f(Xj) h
Обозначим f(x{) через y\. Тогда
s. = y_izl±yih
и Ъ
f(x)dx « S± + S2 + ... + Sn =
yo±yih + yi±yih + aaa + y--^y-h =
V2 + 2 + 2 + 2 2 2 /
Все слагаемые, кроме крайних Щ- и встречаются дважды. Поэтому окончательно получаем формулу трапеций:
9 Я. М. Ахтямов
258
Гл. 12. Определенный интеграл
V Пример 2. Найти по формуле трапеций приближенное 1
dx (=J = 0,785398...).
значение интеграла
о
Решение. Имеем
ж0 = 0,0 уо = 1,0000,
xi = 0,1 У1 = 0,9901,
х2 = 0,2 У2 = 0,9615,
хз = 0,3 уз = 0,9174,
Ж4 = 0,4 у4 = 0,8621,
Ж5 = 0,5 у5 = 0,8000,
Жб = 0,6 у6 = 0,7353,
хч = 0,7 У7 = 0,6711,
xs = 0,8 у8 = 0,6098,
Хд = 0,9 у9 = 0,5525,
хю = 1,0 2/ю = 0,5000,
откуда 1
dx
1 + х2
dx ~
b — а
п
1,5000
+ 7,0998 = 0,78498.
составляет примерно 0,0004, как и
Погрешность — — 0,78581 4
по формуле прямоугольников. Но там мы нашли избыточное, а здесь — недостаточное приближение. Предельная погрешность для формулы трапеций в два раза больше, чем для формулы прямоугольников, поэтому Rio = 2 • 0,00085 = 0,0017. А
Формула парабол. В уже введенных выше обозначениях приближенная формула парабол (или формула Симпсона) имеет вид
f(x)dx
Ь - а (уо + Уг, Зп
+ (У1 + ...+Уп-1) + 2(У1 + ---+У^)\
12.9. Приближенное вычисление определенных интегралов
259
СЙМПСОН (Simpson) Томас (1710-1761) — английский математик, член Лондонского королевского общества. Был ткачом шелковых тканей, математику изучил самостоятельно. Основные труды по геометрии, тригонометрии и математическому анализу. Вывел формулу приближенного интегрирования (формулу Симпсона). Один из основоположников теории ошибок.
В основе этого метода лежит замена частичных криволинейных трапеций, ограниченных сверху функцией / (ж), на криволинейную трапецию, ограниченную сверху параболой вида
у = Ах2 + В х + С.
Предельная погрешность формулы Симпсона составляет
Здесь М4 — наибольшее значение |/^4^| на отрезке [а, Ь].
V Пример 3. Найти по формуле Симпсона приближенное 1
значение интеграла
dx 1 + х2
(= ^ = 0,785398...).
о
Решение. Имеем
х0 = 0,00
ci = 0,25 xi = 0,50 с2 = 0,75
х2 = 1,00
1
2 У1
1
Уо =
У 4 =
0,50000,
1,88235, 0,80000, 0,28000,
0,250000,
откуда
dr 1
dx&-- 4,71235 = 0,78539. 1 + ж2 6
Погрешность составляет примерно 0,00001, т. е. в 40 раз меньше, чем в примерах 1 и 2, хотя там число ординат было вдвое больше.
Численное вычисление на компьютере. Используя какой-либо из методов, описанных выше, и формулу предельной погрешности соответствующей формулы, можно вычислять
9*
260
Гл. 12. Определенный интеграл
определенные интегралы с любой степенью точности. В Maple для этого существует команда:
>evalf(Int(expr,х=а..b,digits);
Здесь обязательными параметрами являются подынтегральная функция ехрг, зависящая только от переменной х, а и b — пределы интегрирования, а необязательным — digits — точность вычисления.
V Пример 4. С помощью пакета Maple найти с точностью 1
до 10 3 интеграл Решение.
dx 1 + х2
(= j = 0,785398...).
>evalf(Int(l/(l+x~2),х=0..1,3);
l
7^ = 0,785. А
1 + X
V Пример 5. С помощью пакета Maple найти с точностью 1
sin х dx
до 10 4 интеграл Решение.
>evalf(lnt(sin(x)/x,x=0..1,4);
l
sin х dx
= 0,9461.
sin X
Заметим, что функция-не интегрируема в элементарных
х
функциях. А
12.10. Несобственные интегралы
Понятие определенного интеграла было введено для функции, ограниченной на отрезке [а, Ь]. Ряд конкретных задач (в частности, задач теории случайных величин) приводит к
12.10. Несобственные интегралы
261
расширению понятия интеграла на случаи бесконечных промежутков и разрывных функций. Такие интегралы называются несобственными. Различают несобственные интегралы первого и второго рода в зависимости от того, имеем ли мы дело с бесконечным промежутком интегрирования или с неограниченной подынтегральной функцией.
Несобственные интегралы первого рода. Пусть функция у = f(x) непрерывна при х ^ а.
