Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Решение. Потребление энергии в течение времени dt составит w dt, а за год
w dt =
[b + c cos (2 тг (t + 0,025))] dt =
= b + с
cos (2 7r(t + 0,025))dt.
Для вычисления второго слагаемого положим 2 тг (t + 0,025) = z, тогда
cos (2тг (t + 0,025)) dt =
t= 0,025;
l тг
dz 27'
если t = 0. то z — 0,05 тг; если t = 1, то z = 2,05 тг
2,05 тг
1
~2т~г
cos z dz = — sin z 2тг
2,05 тг
= 0.
0,05 тг
0,05 тг
Отсюда следует, что потребление энергии за год составляет b единиц мощности. А
г)См. [8, с. 209].
13.5. Задача дисконтирования денежного потока
275
V Пример 2. Потребление энергии каждой лампой и фонарем за год от х = 0 до х = 1 описывается уравнением (13.1), где b и с — некоторые числа. Сеть освещения в районе линейно возрастает по закону и = ио + at, где t измеряется в годах. Вычислить потребление энергии сетью за год от t = 0 до t = 1.
Решение. Потребление энергии в течение времени dt составит uw dt, а за год
1
и w dt =
(щ + at)[b + c cos (2 тг (х + 0,025))] dt «
6гл0 + 0,5а 6 + 0,025а с.
При вычислении этого интеграла был использован метод интегрирования по частям и метод замены переменной. Приближенно вычислено лишь последнее слагаемое (а именно, число 0,025). Таким образом, потребление энергии за год составляет (бг^о + + 0,5 a b + 0,025 а с) единиц мощности. А
Задача 1. Потребление энергии каждой лампой и фонарем за год от х = 0 до х = 1 описывается уравнением (13.1). Сеть освещения в районе возрастет как квадратичная функция и = = uq + a t2. Вычислить потребление энергии сетью за год от t = 0 до t = 1.
Указание: Для вычисления соответствующего интеграла необходимо дважды произвести интегрирование по частям.
Ответ: Приблизительно (Ьи^ + 0,07 а с + 0,33 а Ь) единиц мощности.
13.5. Задача дисконтирования денежного потока
При определении экономической эффективности капитальных вложений возникает задача дисконтирования: определение начальной суммы Aq через время t по ее конечной величине A{t) при процентной ставке р.
Пусть A{t) — конечная сумма, полученная за t лет, и Aq — начальная сумма.
Если проценты простые, то в конце каждого года t сумма A{t) в Сбербанке по сравнению с прошлым годом {t — 1) увеличивается на р % от начальной суммы А$\
A(t) = A(t-l) + ^-A0.
276
Гл. 13. Применение интегрального исчисления..
В первого года начисляется сумма составит
Л(1) = Л0 + 4Л„ = Л0 (l + JL);
в конце второго года
A(V = Ai + ^A» = Ac (l + JL)+A0 = A0 (1+24);
в конце года t:
Поэтому если проценты простые, то дисконтированная сумма вычисляется по формуле
Ранее в гл. 6 было установлено, что при начислении сложных процентов, конечная сумма вычисляется по формуле
A(t) = A0(l + ^)\ tGN;
100 j
при непрерывном начислении процентов — по формуле
A(t) = Л0е
100
t е (о, +оо).
Отсюда получаем, что дисконтированная (в данном случае, начальная) сумма к моменту времени t в случае сложных процентов
а в случае непрерывного начисления процентов
A0 = A(t)e~
100
Предположим, теперь, что деньги вкладываются в банк не разово, в начальный момент времени t = 0, а постоянно и образуют денежный поток, который выражается непрерывной функцией Ao(t). Тогда (см. п. 12.4) общая сумма вложенная в банк
13.5. Задача дисконтирования денежного потока
277
за период времени [О, Т], представляет определенный интеграл
Ud(T) =
A0(t) dt =
pt
A(t)e 100 dt.
Здесь A(t) — ежегодно поступающий доход.
Величина Ud(T) называется дисконтной суммой за период времени [О, Т]. Слово «дисконтный» происходит от английского discount (скидка).
V Пример. Какую сумму следует внести за период [О, Т] в Сбербанк под 10% годовых, чтобы ежегодный доход составлял тысячу рублей. Предполагается, что проценты начисляются непрерывно.
Решение. Согласно условию задачи A{t) = 1 при всех t Е (0, Т), поэтому
Ud(T) =
A0(t) dt =
1-е
100 dt =
10e-°'1T + 10 (тыс. руб.).
В частности, при Т = 3 года, имеем
Ud(3) = -10 е-0'1'3 + 10 « 2,59 (тыс. руб.).
Таким образом, чтобы ежегодный доход в течении трех лет составлял 1 тыс. руб. (за три года — 3 тыс. руб.), следует вложить в Сбербанк 2,59 тыс. руб. Прибыль за три года составит 0,41 тыс. руб. За Т = 10 лет
Ud(10) = -10 е-0'1'10 + 10 « 6,32 (тыс. руб.)
(прибыль за 10 лет равна около 3,68 тыс. руб.). А
Задача 1. Пусть проценты в банке начисляются непрерывно. Какую сумму следует внести за период [0, Т] в Сбербанк под 10% годовых, чтобы ежемоментный доход в момент времени t составлял е0'1^ тысячу рублей.
Ответ: Т тысяч рублей.
Задача 2. Пусть проценты в банке начисляются непрерывно. Какую сумму следует внести за период [0, Т] в Сбербанк под 10% годовых, чтобы ежемоментный доход в момент времени t составлял 1 + 0,11 тысячу рублей.
Указание. Применить формулу интегрирования по частям.
Ответ: 20 - 10 (2 + 0,1 • Т) е"°'1Т тыс. руб.
Раздел IV Функции многих переменных
Именно предельные абстракции являются тем истинным оружием, которое правит нашим осмыслением конкретного факта.
А. Уайтхед
Глава 14 Частные производные
14.1. Понятие функции многих независимых переменных
Если каждой паре чисел х\ и Ж2, называемых независимыми переменными, однозначно соответствует число у, называемое зависимой переменной, то говорят, что у есть функция двух переменных; тогда записывают:
