Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Определение 1. Если интеграл
f(x)dx
(12.2)
при b —> +оо имеет конечный предел, то этот предел называется несобственным интегралом функции f(x) от а до бесконечности и обозначается
f(x)dx.
Итак, по определению
f(x) dx = lim
f(x)dx.
(12.3)
Если интеграл (12.2) при b —> +oo имеет бесконечный предел или вовсе не имеет предела, то говорят, что несобственный интеграл (12.3) расходится. Если интеграл (12.2) при b —> +оо имеет конечный предел, то говорят, что несобственный интеграл (12.3) сходится.
V Пример 1. Найти J 2 х dx.
Решение. Имеем
2 х dx = lim
2~xdx = lim -1-(-2-ж)16 Ь_>+00 In 2 v J
= iim _L (l - L\ = _L (l -0) = -L ~ 14. b^+oo In 2 V 2b J In 2 v J In 2
262
Гл. 12. Определенный интеграл
I) ->> +оо
Рис. 12.14. S
= 1
2~х dx
Геометрическое истолкование. Интеграл J 2 х dx изобража-
о
ется криволинейной трапецией, ограниченной линиями у = 2_ж, у = 0, ж = О, х = b (рис. 12.14). По мере удаления b от начала координат площадь криволинейной трапеции возрастает, но не безгранично. Она стремится к 1/1п2. Таким образом, площадь бесконечной области под линией у = 2~х конечна (равна 1/ In 2). Это не удивительно. Объяснить это можно следующим образом. Площадь бесконечного луча на плоскости равна нулю (у луча нет ширины), т. е. тоже конечна. При добавлении к лучу треугольника получается бесконечная фигура, которая имеет конечную ненулевую площадь. Примерно то же самое и с несобственным интегралом. По мере удаления b от начала координат бесконечная область под линией у = 2~х настолько сближается с осью абсцисс, что почти сливается с ней. В результате площадь всей фигуры оказывается конечной. Функция у = 2~х сродни также геометри-
ческому ряду Y1 2"
п=0
который имеет конечную сумму. А
Геометрический смысл несобственного интеграла (12.3) для неотрицательной на [а, +оо) функции f(x) состоит в том, что он представляет собой площадь криволинейной фигуры, ограниченной данной линией у = /(ж), осью Ох и вертикалью х = а.
V Пример 2. Найти
г dx
J х l
Решение. Имеем
+оо b
dx Л. — = lim
X +
dx л. л — = lim In x
X Ь^ + OG
= lim (In b
¦0) = +oo.
12.10. Несобственные интегралы
263
Рис. 12.15. S
Значит, искомый несобственный интеграл расходится. Геометрически это означает, что площадь области под гиперболой у = —
х
неограниченно возрастает (по мере удаления b от начала координат гипербола недостаточно приближается к оси Ох, чтобы площадь была конечной). А
Пусть функция непрерывна в промежутке (—оо, Ь].
Определение 2. Несобственным интегралом функции f(x)
ъ
от —оо до а называется предел интеграла J f(x) dx при а —> —оо:
f(x) dx = lim
f(x) dx.
Сходимость и расходимость несобственного интеграла J / (х) dx
— оо
понимаются как в определении 1.
Пусть функция непрерывна на всей числовой оси.
Определение 3. Несобственным интегралом функции f(x) от —оо до +оо называется следующая сумма:
+оо
+оо
f(x)dx =
f(x)dx +
f(x)dx.
Она не зависит от выбора точки х = с. Предполагается, что оба
264
Гл. 12. Определенный интеграл
d'
0 s x
Рис. 12.16. Локон Аньези
несобственных интеграла сходятся. Интеграл J f(x)dx выра-
— оо
жает площадь области под линией у = f(x), бесконечно простирающейся в обе стороны.
V Пример 3. Найти площадь бесконечной области под лини-d3
ей у
dz + xz
локон Аньези (рис. 12.16).
АНЬЁЗИ (Agnesi) Мария Гаэтана (1718-1799) — итальянский математик, профессор университета в Болонье. Родилась в Милане. В
d3
ее честь плоскую кривую, выраженную уравнением у = —^-
назвали «локон Аньези».
Решение. Искомая площадь представляется интегралом
+оо 0 +оо
d<
dz + x2
dx =
dc
dz + x2
dx +
d<
d2 + xz
dx.
Так как
о
„ „ dx = d2 arctg —t,
dz + xz
TO
+oo
—:r dx = lim d2 arctg —t = n d2/2. d2 + x2 b^+oc d
12.10. Несобственные интегралы
265
Аналогично о
—- dx = — lim d2 arctg = тг d212, d2 + x2 а^-оо ° d 1
откуда
dx = тг d2.
Таким образом, площадь искомой бесконечной фигуры вчетверо больше площади круга с диаметром d. Этот результат получила итальянский математик Мария Аньези. (Впрочем, еще за сто лет до Аньези искомую площадь другим методом нашел Ферма.) А
Иногда вместо lim F(6) пишут F(±oo). Такая запись поз-
6—)>±ос
воляет обобщить формулу Ньютона-Лейбница. Действительно, пусть F(x) — первообразная функция для непрерывной функции f(x). Тогда
f(x)dx =
f(x)dx +
f(x)dx =
= lim (F(b) - F(c)) + lim (F(c) - F(a)) =
= lim F(b)- lim F(a) = F(+oo) - F(-oo).
Таким образом, если функция f(x) непрерывна на всей числовой оси, то формула Ньютона-Лейбница
f(x) dx = F(b) - F(a) верна и в случае, когда а или b равны ±оо.
V Пример 4. Найти несобственный интеграл
1 + х2
dx.
266
Гл. 12. Определенный интеграл
Решение.
1 + х
1 0
dx — arctg х
7Г 7Г
arctg0 — arctg (—оо) = 0 —(— — ) = —. А
Несобственные интегралы второго рода.
Определение 4. Пусть функция f(x) непрерывна при а < х ^ b и имеет точку разрыва при х = а. Тогда соответствующий несобственный интеграл от разрывной функции определяется формулой
