Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ахтямов А.М. -> "Математика для социологов и экономистов" -> 66

Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.

Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов: Учеб. пособие. Под редакцией Бунатяна Р.А. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 464 c.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка): matematika_dlya_sotsiologov_i_ekonomistov.djvu
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 123 >> Следующая

mdx = т
а b
М dx = М
dx = m(b — а),
dx = М (b- а),
откуда
m(b — а) ^
f(x) dx ^ M(b-a).
5. Теорема о среднем. Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь] (где а < 6), то найдется значение с Е [а, 6], что
f(x)dx = f(c) (b-a).
236
Гл. 12. Определенный интеграл
? По первой и второй теоремам Вейерштрасса непрерывная на отрезке [а, Ь] функция ограничена на нем и достигает своего наименьшего и наибольшего значения (см. раздел «Предел и непрерывность»), т. е.
т ^ f(x) ^ М, х е [а, 6],
где т и М — наименьшее и наибольшее значения функции на [а, 6]. Тогда согласно только что доказанному следствию
m(b — а) ^
f(x)dx ^ М (Ь- а),
или
/(ж) ^ ^ М.
Но функция, непрерывная на отрезке, принимает любое значение, заключенное между наименьшим и наибольшим значениями (теорема Больцано-Коши). Поэтому, в частности, найдется такое число с Е [а, 6], что
f(x)dx = f(c).
Геометрический смысл теоремы о среднем. Пусть f(x) ^ 0 на [а, 6]. Найдется точка с из отрезка [а, 6], что площадь под кривой у = f(x) на [а, 6] равна площади прямоугольника со сторонами f(c) и (b — а) (см. рис. 12.5, а).
Рис. 12.5
12.6. Формула Ньютона-Лейбница
237
12.6. Формула Ньютона-Лейбница
Рассмотрим функцию у = f(t), интегрируемую на отрезке [а, Ь]. Если х Е [а, Ь], то функция /(?) интегрируема также на любом отрезке [а, 6]. Предположим, что х меняется на отрезке [а, Ь], тогда на этом отрезке определена функция
Ф(х) =
/(*) Л-
Эта функция называется определенным интегралом с переменным верхним пределом.
Пусть/(ж) ^ 0 на отрезке [а, Ь]. Тогда значение функции Ф(ж) в точке х равно площади S(x) под кривой у = f(x) на отрезке [а, х] (см. рис. 12.5, б). В этом состоит геометрический смысл интеграла с переменным верхним пределом.
Рассмотрим теперь свойства функции Ф(ж).
Теорема. Если подынтегральная функция f(x) непрерывна, то производная функции Ф(х) по переменному верхнему пределу существует и равна значению подынтегральной функции для этого предела, т. е.
? Мы должны доказать, что
л.// \ v АФ(ж) v
Ф'(ж) = lim Av у = /(ж). v ) Аж^о Аж J v )
Найдем АФ = Ф(х + Ах) - Ф(х).
ж+Аж
Дф = ф(ж + Дж) - ф(ж) =
ж+Аж
/(*) dt-
f(t) dt =
f(t) dt.
По теореме о среднем найдется такое значение с Е [х, х + Ах], что
ж+Аж
fit) dt = /(с) (ж + Ах - х) = /(с) Да,
238
Гл. 12. Определенный интеграл
откуда
Найдем теперь Ф'(х).
АФ = f(c) Ах.
Ф (х) = hm v у = Inn ^—-= Inn /(с).
Аж^О
Аж^О
Аж^О
Заметим, что с —> х при Ах —> О, так как с Е [ж, х + Ах]. Поэтому в силу непрерывности функции f(x) получаем:
Ф'(я)= lim f(c) = f(x). Ш
Аж—>-0
Следствие. Для любой непрерывной функции f(x) существует первообразная.
Действительно, в качестве такой первообразной всегда можно предъявить определенный интеграл с переменным верхним пределом Ф(ж), поскольку Ф'(х) = f(x).
Теорема (формула Ньютона—Лейбница). Пусть функция у = f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь] и F(x) — произвольная первообразная для f(x) на [а, Ь]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на [а, Ь] равен разности значений первообразной F(x) для верхнего и нижнего предела интегрирования, т. е.
f(x) dx = F(b) - F(a).
? Пусть F(x) — некоторая первообразная для функции f(x).
х
Функция Ф(х) = ^f(t)dt также является первообразной для
а
функции f(x). Следовательно,
F(x)-<b(x) = C,
так как любые первообразные для одной и той же функции отличаются лишь на константу (см. с. 202). Отсюда
F(b) - F(a) = (Ф(Ь) + С) - (Ф(а) + С) = Ф(Ь) - Ф(а) =
b a b b
f(x)dx
f(x)dx =
f(x)dx-0 =
f(x)dx.
12.6. Формула Ньютона-Лейбница
239
Формула названа в честь Ньютона и Лейбница, хотя она была установлена еще Барроу, учителем Ньютона.
БАРРОУ (Barrow) Иссак (1630-1677) — английский математик, филолог, богослов. Родился в Лондоне. Крупным достижением Барроу является установление связей между операцией отыскания производной и операцией интегрирования. Он рассматривает интегрирование, по сути дела, как новую математическую операцию, с помощью которой можно решать многие задачи.
В 1669 г. он отказался от кафедры математики в Кембридже в пользу Ньютона, своего тезки и ученика.
Перед смертью Барроу произнес: «Наконец-то я узнаю решение многих геометрических и астрономических вопросов. О, господи, какой Ты геометр!»
Формула Ньютона-Лейбница сводит вычисление определенного интеграла к отысканию неопределенного интеграла. Чтобы
b
вычислить определенный интеграл ^f(x)dx, достаточно найти
а
неопределенный интеграл dx, подставить в найденное вы-
ражение сначала верхний предел, затем нижний и вычесть вторую величину из первой.
Постоянное слагаемое неопределенного интеграла можно не выписывать: оно все равно уничтожится при вычитании.
2
V Пример 1. Найти J Ъх2 dx.
-1
Решение. Находим неопределенный интеграл
3x2dx = x3 + C.
Подставив х = 2, находим 8 + С; при х = — 1 получаем — 1 + С. Вычитая вторую величину из первой, находим
2
J 3 х2 dx = (8 + С) - (-1 + С) = 8 - (-1) = 9. -1
Постоянное слагаемое С при вычитании уничтожилось. А

V Пример 2. Найти J sin х dx.
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed