Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
fix) dx = lim
f(x)dx
(12.4)
a+s
и называется сходящимся или расходящимся в зависимости от того, существует или не существует предел правой части равенства (12.4).
Аналогично определяется несобственный интеграл, когда f(x) имеет разрыв только на конце х = b промежутка [а, Ь).
1
V Пример 5. Найти несобственный интеграл — dx.
Решение. Функция f(x) = — разрывна в точке х = 0. По-
этому 1
— dx = lim
х ?->-+0
1 . 1
— dx = lim (In x) = 1 — (—оо) = +oo.
x ?->+ov 7 +? v 7
0 +?
Искомый несобственный интеграл расходится. Геометрически это означает, что соответствующая криволинейная трапеция («бесконечный шпиль») имеет бесконечную площадь (рис. 12.17). А
Если существует функция F(x), непрерывная на отрезке [а, Ь] и такая, что
F'(x) = f(x) при а < х ^ b
12.10. Несобственные интегралы
267
Рис. 12.17. Геометрический смысл несобственного интеграла
{обобщенная первообразная), то для несобственного интеграла (12.4) справедлива обобщенная формула Ньютона-Лейбница:
fix) dx = lim
f(x)dx= Hmo (F(6) - F(a + e)) =
a+s
= F(b) - F(a) = F(x)
Таким образом, формула Ньютона-Лейбница для определенных интегралов доказывается] для несобственных она принимается за определение.
Аналогично определяется несобственный интеграл, когда f(x) имеет разрыв только на конце х = b промежутка [а, Ь):
f(x)dx = F(b) - F(a) = F{x)
V Пример 6. Найти несобственный интеграл
у/х
dx.
268
Гл. 12. Определенный интеграл
Решение. Функция f(x) = —= разрывна в точке х = 0.
л/х
Поэтому
—j=- dx = 2 \[х
л/Х
= 2-0 = 2.
Геометрически это означает, что соответствующая криволинейная трапеция («бесконечный шпиль») имеет площадь равную двум (рис. 12.17). По сравнению с предыдущим примером площадь оказалась конечной. Это является следствием того, что
«шпиль» для функции у = —=- является тонким и, начиная с
л/Х
некоторой высоты, почти сливается с осью Оу. А Решение примеров 4, 5, 6 в пакете Maple.
>int(1/(1+х**2),x=-infinity..0);
Ответ: - тг. 2
>int(l/x,x=0..1);
Ответ: оо.
Ответ: 2.
>int(l/sqrt(x),х=0..1);
Нет ни одной области страктна она ни была, окажется применимой к го мира.
математики, как бы аб-которая когда-нибудь не явлениям действительно-
Н. Лобачевский
Глава 13
Применение интегрального исчисления в социально-экономической сфере
13.1. Вычисление объема выпущенной продукции
Как уже отмечалось выше (см. п. 12.4), определенный интеграл используется в экономике и для определения объема выпуска продукции.
Считая, что объем продукции, произведенной в единицу времени (производительность), является непрерывной функцией f(t) от времени ?, выпуск продукции за промежуток
т
времени [О, Т] можно вычислять по формуле Q = J f(t) dt.
о
V Пример 1. Найти дневную выработку Q за рабочий день продолжительностью 8 часов, если производительность труда в течение дня меняется по эмпирической формуле f(t) = = -0,Н2 + 0,8? + 10.
Решение.
Q =
f(t)dt =
(-0,1 Г + 0,8 ?+ 10) dt =
11 к 88,53. ^
= -о,н3/3 + °58*2/2 + 10*'1
о
Задача 1. Найти объем продукции, выпущенной за год (258 рабочих дней) при 8-часовом рабочем дне, если производительность задана функцией f(t) = -0,003312 - 0,0891 + 20,96, 0 < t < 8.
270
Гл. 13. Применение интегрального исчисления..
Указание. Сначала найти объем продукции за 8 часов, затем умножить на 258.
Ответ: 42 381 ед.
V Пример 2. Пусть известно, что в начальный момент времени t = 0 на предприятии производилось продукции в количестве уо, а скорость роста продукции, произведенной на предприятии, равна нулю. Найти какое количество продукции y(t) производится в каждый момент времени t.
Решение. Согласно условию задачи
dy(t)
Рис. 13.1. Дневная выработка
dt
= 0.
Решением этого уравнения является произвольная постоянная y{t) = С. Воспользовавшись другим условием задачи, согласно которому
2/(0) = уо, получим С = у о, откуда имеем
y(t) = Уо,
т. е. предприятие производит продукции в каждый момент времени столько же сколько и в начальный. А
Задача 2. В условиях предыдущей задачи найти количество продукции произведенной на предприятии за время [0, 2].
Ответ:
\y{t) dt = 2y0.
13.2. Степень неравенства в распределении доходов
Одной из важнейших проблем в социальных и экономических науках является проблема измерения социального неравенства. Наиболее распространена следующая методика изучения. Сначала по тому или иному критерию (имуществу, количеству земли и т. п.) вся совокупность людей, семей или хозяйств делится на несколько групп, чаще всего на три: богатые, средние, бедные; затем определяется доля каждой группы. Если в социальной
13.2. Степень неравенства в распределении доходов
271
структуре преобладают «середняки», а крайние группы по численности одинаковы, то делается вывод о том, что данная социальная совокупность более или менее однородна, если же, наоборот, большая часть населения принадлежит к крайним группам, то считается, что налицо сильное расслоение и неравенство. При изучении социальной структуры в динамике исходят из мысли, что если в интервале времени наблюдалось изменение в соотношении социальных прослоек в пользу крайних за счет средней группы, то дифференциация и неравенство углубились.
