Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ахтямов А.М. -> "Математика для социологов и экономистов" -> 76

Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.

Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов: Учеб. пособие. Под редакцией Бунатяна Р.А. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 464 c.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка): matematika_dlya_sotsiologov_i_ekonomistov.djvu
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 123 >> Следующая

lim dn = lim J(xn - ж0)2 + (yn - y0)2 = 0,
т. е. если xn стремится кжо, a|/n — к договорят, что zq есть предел функции /(ж, у), где (ж, у)
стремится к (жо, Уо), если для каждой последовательности
точек (жп, уп), отличных от (жо, Уо) и стремящихся к (жо, Уо)?
последовательность f(xn, уп) стремится к zo при п —> оо. Это записывается следующим образом:
lim f(x,y) = z0
X —> Хо
У ^ Уо
или
/(ж, у) -> z0, при (ж, у) -> (ж0, г/о).
V Пример 1. Найти lim (1 — ж — у).
ж 1
Решение, lim (1 — ж — у) = 1 — 1 — 2 = —2. А
ж —»1 2/^2
14-2. Область определения, предел и непрерывность
283
V Пример 2. Найти lim \J\ — х2 — у2 .
х О 1/->0
Решение, lim \J\ — х2 — у2 = у/1 — О — О = 1. А
х О у^О
Теоремы о пределе суммы, разности, произведения и частного двух функций, выведенные для функций одной переменной, справедливы и для функций двух переменных. Таким образом, имеют место следующие теоремы.
Теорема 1. Предел суммы (разности) двух функций в точке (жо, У о) равен сумме (разности) пределов этих функций в той же точке, т. е. если при (ж, у) —> (жо, Уо) имеет место
/(ж, у) -> а, #(ж, у) -> 6,
то
/(ж, у)±д(х, у) -> а±Ъ.
Теорема 2. Предел произведения двух функций в точке (жо, Уо) равняется произведению пределов этих функций в этой точке, т. е. если при (ж, у) —> (жо, Уо) имеет место
/(ж, у) -> а, #(ж, у) -> 6,
то
/(ж, у) • д(х, у) -> а-Ь.
Теорема 3. Предел частного двух функций в точке (жо, Уо) равняется частному пределов этих функций в той же точке (при условии, что ни значение функции-делителя в окрестности этой точки, ни значение предела этой функции не равны нулю), т. е. если при (ж, у) —> (жо, Уо) имеет место
/(ж, у) -> а, #(ж, у) -> 6,
то при условии, что д(х, у) ф О и Ь ф 0; имеем'.
f(x, У) _^ а 9(х,у) Ь'
284
Гл. Ц. Частные производные
Говорят, что функция z = /(ж, г/) непрерывна в точке (жо, Уо), если она определена в этой точке и если
lim /(ж, у) = /(ж0, Уо),
X —> Хо
У ^Уо
т. е. если значение функции / (ж, у) в точке (жо, Уо) равно пределу функции в этой точке.
Другими словами, функция z = /(ж, у) непрерывна в точке (жо, Уо), если бесконечно малым изменениям значений ж и у соответствует бесконечно малое изменение значения / (ж, у).
График непрерывной функции представляет собой поверхность без разрывов и проколов. Функция z = /(ж, у) называется непрерывной в области D, если она непрерывна в каждой точке этой области.
Например, функция z = 1 — ж — у непрерывна везде, так как lim /(ж, у) = 1 - х0 - уо = f(x0, уо)-
X —> Хо
У ^ Уо
14.3. Частные производные первого порядка
z = /(ж, у)
z = /(ж, г/о)
Рассмотрим функцию z = /(ж, у). Пусть независимая переменная у приняла постоянное значение у = уо, а переменная ж
изменяется. Тогда из функции двух переменных получим функцию одной независимой переменной z = /(ж, г/о)-Ее графиком является линия пересечения поверхности z = /(ж, у) и плоскости у = уо (рис. 14.3).
Как мы знаем, производной от функции одной переменной называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Поскольку z = /(ж, г/о) является функцией одной переменной, ее производная z'x в точке жо
У = Уо
Рис. 14.3. Частная производная z'x
Ц.З. Частные производные первого порядка
285
вычисляется по формуле
z' = lim
Х Аж->0
f(x0 + Аж, уо) - Дж0, Уо)
Эта производная называется частной производной z'x от функции двух переменных z = /(ж, у) в точке М(жо, Уо)-
Частную производную ^ для функции 2 = /(ж, у) можно вычислить не только при у = уо, но и при других фиксированных значениях у. Кроме того, можно также определить и частную производную z'y.
Обозначим через Аж приращение переменной ж; введем также обозначение
Аж2 = /(ж + Аж, у) - /(ж, у).
Приращение Axz называют частным приращением функции z по переменной ж.
Аналогично, если переменная у получает приращение Ау, а ж остается постоянной, то частное приращение функции z по переменной у имеет следующий вид:
Ayz = /(ж, у + Ау) - /(ж, у).
Если существует предел
lim = lim П* + Ьс,у)-П*,У)ш
Аж^О Аж Аж^О Аж
то этот предел называется частной производной первого порядка или первой частной производной по переменной ж; она обозначается следующими символами:
dz J
дх'
Аналогично определяется первая частная производная по переменной у
как предел отношения
lim = lim
Ау->0 Аж Ау->0
f(y, У + Ау) - /(ж, у) Аж
286
Гл. Ц. Частные производные
О z
Обозначение — читается «дэ зет по дэ икс», z'x читается «зет
штрих по икс». Аналогично читаются обозначения — и zy
dz ^ i
ду
О z 0 z
Заметим, что обозначения частных производных —— и ——
ох оу
отличаются от обозначения производной тем, что для обо-
ах
значения частных производных используется «круглое» d (<9), а для обозначения производной — «прямое» (d).
Как и производной функции одной переменной, частным производным функции двух переменных также можно придать геометрический, механический и экономический смыслы.
В геометрическом смысле производная z'x представляет собой тангенс угла наклона касательной к кривой z = f(x, у о), у = у о в точке М(жо, У о )• Другими словами, z'x равна тангенсу угла между касательной и линией, параллельной оси Ох и проходящей через точку М(ж0, уо)-
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed