Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
306
Гл. 15. Оптимизационные задачи
строгий максимум строгий минимум
Рис. 15.1. Экстремум функции двух переменных
В случаях, когда упоминание о том, является ли максимум или минимум строгим или нестрогим, локальным или глобальным, не является существенным, то соответствующие прилагательные опускают.
Точки максимума и минимума называются точками экстремума.
Приведем теоремы, облегчающие нахождение экстремумов функции двух переменных.
Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Если функция z = f(x, у) имеет в точке Ро(#о? Уо) экстремум и первые частные производные f'x(xo, у о), /^(жо, у о) непрерывны в некоторой окрестности этой точки, то
f'x(xo, Уо) = 0, /у(ж0, 2/о) = 0. (15.1)
? Если в точке (жо, Уо) функция / (ж, у) имеет максимум, то функция / (ж, уо) одной переменной ж имеет в точке х = жо максимум, и, следовательно, ее производная /^.(жо, уо) равна нулю. Функция /(жо, У) одной переменной у также имеет в точке у = = уо максимум, и, следовательно, ее производная /^(жо, Уо) равна нулю. Следовательно, одновременно должно иметь место:
/я(жо, Уо) = 0, /у(ж0, Уо) = 0.
Аналогично доказывается случай, когда функция /(ж, у) имеет в точке (жо, Уо) минимум. ¦
Точки, при которых выполняются (15.1), называются стационарными точками функции z = /(ж, у).
15.1. Экстремум функции двух переменных
307
Теорема 2 (геометрический смысл необходимых условий экстремума). В стационарной точке касательная плоскость к поверхности z = f(x, у) параллельна плоскости хОу.
? Пусть Ро(%о,Уо) есть стационарная точка функции z = f(x,y). Уравнение касательной плоскости в этой точке имеет вид
z - z0 = z'x(x0, уо) (х - х0) + z'y(x0, уо) (у - уо)-Так как частные производные равны нулю, то получаем z — zo = 0, z — zo> И
Заметим, что точки экстремума могут быть не только в тех точках, в которых частные производные функции равны нулю. Экстремум функции может быть и в тех точках, где хотя бы одна из частных производных не существует или равна бесконечности. На рис. 15.2 изображена функция с конусообразным графиком. В вершине конуса — точке М\ — находится максимальная точка функции, однако частные производные там не существуют (в соответствующей точке невозможно провести касательную плоскость) .
Более того, обращение в нуль или же несуществование частных производных первого порядка является более общим необхо-димымым условием экстремума.
Однако это необходимое условие недостаточно для существования экстремума. Например, у седловидной поверхности z = х2 — у2, изображенной на рис. 15.2, частные производные равны нулю в точке M<i, но эта точка не является экстремумом.
Mi
конус седловина
Рис. 15.2. В точке М\ — максимум, однако частные производные не существуют. В точке Mi нет экстремума, однако частные производные
равны нулю
308
Гл. 15. Оптимизационные задачи
Теорема 3 (достаточные условия экстремума). Если функция z = f(x, у) имеет в окрестности точки Po(xq, уо) первые и вторые непрерывные частные производные, то в точке Ро, в которой выполняются необходимые условия (15.1), имеет место экстремум в случае, когда в этой точке
А = f'L ¦ f'y - (tty)2 > 0. (15.2)
Функция имеет максимум в точке Ро(#(Ь Уо), если в этой точке fxx < 0; и минимум, если fxx > 0.
Если же А < 0, то функция z = f(x, у) не имеет экстремума в точке Ро-
Таким образом, схема исследования функции z = f(x, у), имеющей непрерывные первые и вторые частные производные, на экстремум такова. Вначале сужаем область поиска. Находим стационарные точки (только они могут быть точками экстремума). Далее, пусть Ро(#(ь Уо) является стационарной точкой функции. Значения производных второго порядка в точке Ро обозначим так:
f"x(x0i Уо) = -4; fxy(xoi Уо) = Р; /уу(я<ь Уо) = С.
Составим определитель
Д =
Л в в с
= AC -Bz
Если А < 0, то в стационарной точке Ро нет экстремума (в этом случае Ро является так называемой седловиной, или точкой минимакса; рис. 15.2).
Если А > 0, то в точке Ро есть экстремум, причем максимум, если Л < 0, и минимум, если Л > 0.
Если А = 0, то требуется дополнительное исследование. (В этом случае возможны оба случая. Для одних функций в стационарной есть экстремум, для других — нет.) Поэтому при А = 0 проводят исследование, используя определение.
V Пример 1. Найти экстремум функции z = 2х + 8у - х2 - 2у2.
15.1. Экстремум функции двух переменных
309
Решение. Находим частные производные функции:
4 = 2-2ж, 4 = 8-4у.
Находим стационарные точки. Для этого решаем систему уравнений
zx = 2 - 2х = 0, ^ = 8 - 4у = 0,
откуда х = 1, у = 2. Таким образом, стационарной является точка Ро(1, 2). Находим значения частных производных второго порядка в точке Ро:
А = 4Х(Р0) = -2, В = 4ДР0) = -4, С = 4у(Р0) = 0.
Составляем выражение
А = ЛС - В2 = (-2) • (-4) - О2 = 8.
Так как А > 0 и А < 0, делаем вывод о наличии максимума в точке Ро(1, 2). При этом минимальное значение функции равно
%т'т — 9. А
V Пример 2. Найти экстремум функции
z = 2 х3 + х у2 + 5 х2 + у2 + 1.
Решение. Находим частные производные функции:
