Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
Отметим, что теорема 3 (о достаточных условиях экстремума функции двух переменных) из предыдущего пункта является следствием теоремы 2, поскольку введенный в предыдущем пункте определитель А является гессианом функции двух переменных.
15.3. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в заданной замкнутой области
Пусть требуется найти наибольшее и наименьшее значение функции z = f(x, у) в некоторой замкнутой области D. Этих значений функция достигает либо во внутренних точках области, которые являются стационарными точками функции, либо на границах области. Следовательно, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданной области, необходимо:
1) найти стационарные точки, лежащие внутри области, и вычислить значения функции в этих точках; исследовать на экстремум эти точки нет необходимости;
2) найти наибольшее и наименьшее значение функции на границе области; если граница области состоит из нескольких линий (участков), то исследование проводится для каждого участка в отдельности;
3) сравнить все полученные значения функции; наибольшее из них будет наибольшим, а наименьшее — наименьшим значением функции в заданной области.
15.3. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции
317
V Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = x2 + 2y2-2x-%y + §v замкнутом треугольнике АО В, ограниченном осями координат и прямой х + у — 4 = 0 (рис. 15.3).
Решение. Найдем стационарные точки:
4 = 2ж-2; ^ = 4 у - 8.
Решая систему
4 = 2 ж - 2 = 0;
4 = 4у-8 = 0,
Рис. 15.3. Стационарные точки в замкнутом треугольнике ЛОВ
находим стационарную точку
Ро(1, 2). Эта точка лежит внутри области. Вычислим значение функции в этой точке:
z(PQ) = z(l, 2) = 1 + 8 - 2 - 16 + 5 = -4.
Граница заданной области состоит из отрезка OA оси Ох, отрезка О В оси О у и отрезка ЛВ. Определим наибольшее и наименьшее значения функции z на каждом из этих трех участков. На отрезке OA имеем у = 0, 0 ^ х ^ 4. При у = 0 функция
2 = ж
2ж + 5
есть функция одной независимой переменной х. Находим наибольшее и наименьшее значение этой функции на отрезке [0, 4]:
dz dx
= 2х-2; 2х-2 = 0; х = 1;
Pi(l, 0) — стационарная точка. Значение функции в этой точке равно z(Pi) = z(l, 0) = 4.
Вычислим значения функции на концах отрезка О Л, т. е. в точках О и А:
z(0) = *(0, 0) = 5; z(A) = z(4, 0) = 13.
На отрезке О В имеем х = 0 и 0 ^ ?/ ^ 4. При х = 0
* = 2зГ-8у + 5.
318
Гл. 15. Оптимизационные задачи
Находим наибольшее и наименьшее значение этой функции z от переменной у на отрезке [0, 4]:
4=4у-8; 4^-8 = 0; у = 2;
Р2(0, 2) — стационарная точка,
z(P2) = z(0, 2) = -3.
Вычислим значения функции z на концах отрезка ОР, т. е. в точках О и В:
z(0) = *(0, 0) = 5, z(B) = *(0, 4) = 5.
Исследуем теперь отрезок Л В. Уравнение прямой Л В:
у = 4 — х.
Подставив это выражение для у в заданную функцию z, получим z = х2 + 2 (4 - х)2 - 2 х - 8 (4 - х) + 5,
или
z = 3х2 -10х + 5.
Определим наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0, 4]:
5
z'x = 6 х — К): 6 х — К) = 0: х = -; Н% I -, - I — стационарная точка,
3' 3
Значения в точках А и В найдены ранее. Сравнивая полученные результаты, заключаем, что наибольшее значение заданной функции z в заданной замкнутой области достигается в точке Л(4, 0), а наименьшее значение — в стационарной точке Ро(1? 2). Таким образом, наибольшее значение достигается в точке 2(4, 0) = 13, а наименьшее — в точке z(l, 2) = —4. А
Задача. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
Z = X2-\-y2-Xy-\-X-\-y
в замкнутом треугольнике, ограниченном осями координат и прямой
х + у + 3 = 0.
15.4- Условный экстремум
319
Ответ: Наименьшее значение: —1, а наибольшее: 6.
В следующей главе рассмотрено приложение методов поиска наибольших и наименьших значений функций к задачам повышения урожайности.
15.4. Условный экстремум
Пусть требуется исследовать на экстремум функцию z = = f(x,y) при условии, что сами переменные х и у связаны уравнением
д(х, у) = 0.
Геометрически это означает, что кроме функции z = f(x,y) задана еще некоторая линия L в плоскости хОу, и требуется функцию z исследовать на экстремум при условии, что экстремальные точки могут принадлежать только этой линии L. Эти точки называются точками условного экстремума, а уравнение, связывающее переменные х и у, — уравнением связи.
Если из уравнения связи д(х, у) переменную у выразить явно через х и подставить в заданную функцию z = f(x, у), то получим функцию от одной переменной х. Найдя те значения х, при которых z достигает экстремума, мы подставим их в уравнение связи и определим соответствующие значения у. В результате будут получены точки условного экстремума.
В тех случаях, когда у нельзя выразить явно через х, применяют так называемый метод множителей Лагранжа, сущность которого состоит в следующем.
Чтобы данную функцию z = f(x, у) исследовать на экстремум при условии, что д(х, у) = 0, надо:
1) составить вспомогательную функцию Лагранжа
F(x, у, А) = f(x, у) + Хд(х, у),
