Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
2 5 -1 = 2
-4 -1 14
= 26 > О,
Поскольку все главные миноры положительны, то квадратичная форма из примера 1 является положительно определенной.
Два главных минора квадратичной формы из примера 2 удовлетворяют неравенствам
«11 «12 _ 6 4 «21 «22 4 1
Ai = ап = 6 > О, А2 =
= -10 < 0.
Поэтому соответствующая квадратичная форма не может быть положительно определенной или отрицательно определенной. Следовательно она является знакопеременной. А
Рассмотрим теперь как с помощью квадратичных форм находить точки экстремума.
Достаточные условия экстремума. Отметим, что окрестность, минимум, максимум и экстремум для функции многих переменных определяются аналогично тому, как это сделано для функции двух переменных. Так же как и в случае функции двух переменных, доказывается
Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Если функция z = /(жх, Ж2, ... , хп) имеет в точке Pq экстремум и первые частные производные f'x., г = 1, 2, ..., п непрерывны в некоторой окрестности этой точки, то
/' =0, » = 1, 2,
п.
Ро
(15.3)
Точки, в которых выполняются условия (15.3), называются стационарными.
Необходимое условие экстремума может быть сформулировано и в терминах дифференциалов.
Введем для этого необходимые определения.
Полный дифференциал функции многих переменных, который называют еще и дифференциалом первого порядка вводится
314
Гл. 15. Оптимизационные задачи
по аналогии с полным дифференциалом функции двух переменных.
Пусть функция z = /(жх, Ж2, ...,хп) имеет непрерывные частные производные zx±. Дифференциалом первого порядка такой функции называется выражение dz, которое вычисляется по формуле
dz = z'x! Лж1 + zx2 Лж2 + ••• + z'Xn Ахп.
Дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т. е. dx{ = Ах^.
Из условий (15.3) вытекает, что в точке локального экстремума
dz = 0.
Ро
(15.4)
Обратное утверждение также верно: если в точке Ро первый дифференциал функции z = /(жх, Ж2, ... , хп) тождественно равен нулю (как функция относительно dxi), то все частные производные z'x в указанной точке также равны нулю в силу произвольности dx{.
Условия (15.3) или (15.4) не являются достаточными условиями экстремума.
Достаточное условие экстремума формулируется с помощью привлечения второго дифференциала функции.
Пусть функция z = /(жх, Ж2, ... , хп) имеет непрерывные частные производные zx. Xk. Дифференциалом второго порядка этой функции называют выражение
п
d z = *У ] zx. Xk dx\ dxk-
г, k=l
Здесь дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т. е. dx\ = Axi, dxk = Axk-
Нетрудно видеть, что дифференциал d2z представляет собой симметричную квадратичную форму относительно дифференциалов независимых переменных dx\, dx2l dxn. Матрица этой квадратичной формы, элементы которой являются вторыми
15.2. Экстремум функции многих переменных
315
частными производными zx. Xk, называется матицей Гессе:
z.
JI II II
Х\ Х\ ZX\Х2 ' Х\ Хп
,// 11 11
z .. z
Х2 Х\ ^Х2 Х2 Х2Хп
II
Хп Ж1 Хп Х2 ' z11 Хп Хп
Определитель этой матрицы называется гессианом.
ГЕССЕ (Hesse) Людвиг Отто (1811-1874) — немецкий математик, член Баварской академии наук. Родился в Кенигсберге. Основные труды относятся к геометрии, линейной алгебре, вариационному исчислению; ввел понятие гессиана.
Теорема 2 (достаточные условия экстремума). Пусть в стационарной точке Pq и в некоторой ее окрестности функция z = f(x\, Ж2, ... , хп) имеет все непрерывные частные производные. Тогда, если в этой точке второй дифференциал d2z является знакоопределенной квадратичной формой от дифференциалов dx\, dx2, dxn независимых переменных, данная функция имеет в точке Pq локальный экстремум. При этом
1) если d2z является положительно определенной квадратичной формой, то функция z = f(x\, x<i-> ••• , хп) имеет в точке Pq локальный минимум;
2) если d2z является отрицательно определенной квадратичной формой, то функция z = f(x\, Ж2, ... , хп) имеет в точке Ро локальный максимум.
Если же d2z является знакопеременной квадратичной формой, то функция z = f(x\, Ж2, ... , хп) не имеет локального экстремума в точке Ро.
V Пример 4. Найти экстремум функции трех переменных z = х\ + х\ + х2.
Решение. Найдем стационарную точку функции. Для этого приравняем первые частные производные к нулю:
z'Xl =2xi = 0, zX2 = 2x2 = 0, zX3 = 2 xs = 0.
Отсюда получаем единственную стационарную точку 0(0,0,0). Проверим, является ли эта точка точкой экстремума. Найдем вторые частные производные.
" = о z" =2 z" =2
^Х\Х\ ^1 ^Х2Х2 ' ЖЗ Жз ^1
316
Гл. 15. Оптимизационные задачи
Х2 ' Х\ Жз U5 ^Ж2 Жз U*
Гессиан, составленный из этих вторых частных производных в точке О(0, 0, 0), имеет вид
2 0 0 0 2 0, 0 0 2
все главные миноры
Ах = 2, А2 = 4, А3 = 8
которого положительны. Следовательно, согласно критерию Сильвестра, квадратичная форма d2z положительно определена. Поэтому из теоремы 2 вытекает, что функция z = х\ + х\ + х\ имеет в точке О(0, 0, 0) локальный минимум. А
